题意简述

给定整数 $n$，考虑所有满足 $1\le a\le 10000$，$1\le b\le \min(10000, a\cdot n)$ 的整数对 $(a,b)$。定义字符串 $s$ 为将 $n$ 的十进制表示重复 $a$ 次。K1o0n 的“解法”会将 $s$ 删除末尾 $b$ 个字符，将剩余字符串转为整数。若剩余字符串非空且等于真正的答案 $n\cdot a - b$，则称 $(a,b)$ 是正确的。对给定的 $n$，求所有这样的 $(a,b)$。

数据范围：$n\le 100$，$t\le 100$，且所有 $n$ 互不相同。

关键观察

因为 $a\le 10000$，$n\le 100$，所以 $n\cdot a \le 10^6$。正确答案 $T = n\cdot a - b$ 在 $[0, 10^6]$ 之间，因此 $T$ 至多只有 $7$ 位十进制数。

设 $d$ 为 $n$ 的十进制位数（$1\le d\le 3$）。字符串 $s$ 的长度为 $L = a\cdot d$。删除末尾 $b$ 个字符后，剩下的长度 $L-b$ 必须等于 $T$ 的位数，且这部分必须恰好是 $s$ 的前缀。因此 $T$ 必然是 $n$ 的无限重复串的前缀，且长度不超过 $7$。

推导

设 $len = \text{len}(T)$，即 $T$ 的十进制位数。必须满足：

1. $L - b = len\;\Rightarrow\; b = a\cdot d - len$；
2. $b = n\cdot a - T$。

联立两式：

$$a\cdot d - len = n\cdot a - T \quad\Longrightarrow\quad T - len = a\,(n - d). $$

情况一：$n \neq d$（绝大多数情况）。
解得 $a = \dfrac{T - len}{\,n - d\,}$。要求为整数，且 $1\le a\le 10000$。然后计算 $b = n\cdot a - T$，检查 $1\le b\le \min(10000,\, n\cdot a)$ 即可。

情况二：$n = d$，仅当 $n = 1$ 时成立（一位数且数字等于位数）。此时 $T - len = 0$，故 $T = len$。$n$ 的无限重复串是 "111..."，唯一满足 $T = len$ 的前缀是 $T=1$（因为 $1=1$，$11\neq2$，$111\neq3$…）。由 $b = a\cdot d - len = a - 1$ 及 $b = a - T = a - 1$，可见对任意 $a\ge 2$ 均成立。结合 $a\le 10000$ 和 $b\le 10000$，得到 $a\in[2,10000]$，对应的 $b = a-1$。这些全是解。

算法流程

1. 令 $d = \text{len}(n)$。
2. 构造 $n$ 的无限重复串，长度取 $7$ 或稍大（例如 $10$）。
3. 枚举长度 $len$ 从 $1$ 到 $7$（或不超过 $10$），取前缀字符串 $p$，转为整数 $T$。
4. 若 $n = 1$，特殊处理：若 $T = 1$，则对于 $a = 2\dots 10000$，输出 $(a, a-1)$。
5. 否则，若 $(T - len) \bmod (n - d) = 0$：
   • $a = (T - len) / (n - d)$；
   • 若 $1\le a\le 10000$，计算 $b = n\cdot a - T$；
   • 若 $1\le b\le 10000$ 且 $b\le n\cdot a$，则 $(a,b)$ 是一个解。
6. 收集所有解，按需输出（样例按 $a$ 升序）。

时间复杂度 $O(7)$ 每组数据，极快。

参考代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

void solve() {
    int n;
    cin >> n;
    string ns = to_string(n);
    int d = ns.size();

    // 生成足够长的重复串
    string repeated;
    for (int i = 0; i < 10; ++i) repeated += ns;

    vector<pair<int,int>> ans;
    if (n == 1) {
        // n=1 时, T=1 固定，a 从 2 到 10000
        for (int a = 2; a <= 10000; ++a) {
            int b = a - 1;
            if (b <= 10000) ans.push_back({a, b});
        }
    } else {
        for (int len = 1; len <= 7; ++len) {
            string pref = repeated.substr(0, len);
            int T = stoll(pref);
            if (T < len) continue; // 避免除零或负，但实际不会
            int num = T - len;
            int den = n - d;
            if (num % den) continue;
            int a = num / den;
            if (a < 1 || a > 10000) continue;
            int b = n * a - T;
            if (b < 1 || b > 10000 || b > n * a) continue;
            ans.push_back({a, b});
        }
    }

    // 排序输出（可选）
    sort(ans.begin(), ans.end());
    cout << ans.size() << "\n";
    for (auto [a, b] : ans) {
        cout << a << " " << b << "\n";
    }
}

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);
    int t;
    cin >> t;
    while (t--) solve();
    return 0;
}