题目理解

本题要求我们找到一个区间 [a, b]，使得该区间内所有整数的最小公倍数等于给定的自然数 M。如果存在多个解，优先选择 a 最小的，如果 a 相同则选择 b 最小的。

关键难点

1. 大数范围：M 最大可达 10¹⁸，需要高效的算法
2. 多解情况：需要按照特定规则选择最优解
3. 边界处理：需要考虑各种特殊情况

解题思路

核心观察

1. 区间长度有限：对于给定的 M，可能的区间长度不会太大。因为随着区间长度的增加，最小公倍数会快速增长。

2. 数学性质：

   • 区间 [a, b] 的 LCM 等于区间内所有质数的最高次幂的乘积
   • 如果区间长度 L = b - a + 1 固定，那么 LCM 的增长速度很快

算法设计

1. 枚举区间长度：从长度 2 开始，逐步增加长度 L

   • 对于每个 L，寻找可能的区间 [a, a+L-1] 使得 LCM = M
   • 当 LCM 超过 M 时停止增加 L

2. 二分查找优化：对于固定的 L，可以使用二分查找确定是否存在满足条件的 a

3. 质因数分解：将 M 分解质因数，这有助于快速计算区间 LCM

4. 可行性剪枝：

   • 如果 M 是质数，只能出现在长度为 2 的区间中
   • 检查 M 是否可能是某个较短区间的 LCM

特殊情况处理

• M = 1：无解，因为需要 a < b
• M 是质数：只有当区间为 [M, M+1] 时才可能满足
• M 是 2 的幂次：需要特殊考虑

复杂度分析

• 区间长度 L 最多为 O(log M) 级别
• 对于每个 L，检查的时间复杂度可以接受
• 总体复杂度对于大数据范围也是可行的

实现提示

1. 使用 64 位整数处理大数
2. 预处理质数表加速质因数分解
3. 注意整数溢出问题
4. 对于无解情况及时输出 "NIE"

总结

本题需要结合数论知识和算法优化技巧。关键在于发现区间长度有限的性质，从而将问题转化为在有限范围内搜索。通过合理的剪枝和优化，即使对于 10¹⁸ 的大数也能在合理时间内求解。

注意：实际编码时需要仔细处理各种边界情况，确保在所有测试数据上都能正确运行。