要解决这个问题，我们需要找到从初始字符串 $S$ 开始的第 $K$ 个合法标签（满足“最小循环表示唯一”的字符串），核心思路分为三部分：

1. 最小循环表示的计算

对于一个字符串，其“最小循环表示”是指所有循环移位（将字符串首尾相连后，从不同位置起始的子串）中字典序最小的那个子串。

可以使用双指针法高效计算最小循环表示：

• 设字符串为 $s$，长度为 $m$，初始化指针 $i=0$，$j=1$，偏移量 $k=0$。
• 比较 $s[(i+k) \% m]$ 和 $s[(j+k) \% m]$：
  • 若相等，$k$ 加 $1$，继续比较下一个字符；
  • 若 $s[(i+k) \% m] > s[(j+k) \% m]$，则 $i = \max(i+k+1, j+1)$（跳过不可能成为最小起始的位置）；
  • 若 $s[(i+k) \% m] < s[(j+k) \% m]$，则 $j = \max(j+k+1, i+1)$；
• 重复直到 $k \geq m$ 或 $i \geq m$ 或 $j \geq m$，最终 $\min(i, j)$ 即为最小循环表示的起始位置。

2. 最小循环表示的唯一性判断

合法标签要求“最小循环表示唯一”——即只有一个起始位置能得到该最小循环表示。

判断方法：

• 先计算出最小循环表示的起始位置 $pos$；
• 遍历所有其他可能的起始位置 $t$（$t \neq pos$），检查循环移位后的子串是否等于最小循环表示；
• 若存在某个 $t$ 满足条件，则最小循环表示不唯一，该字符串不合法。

3. 字典序遍历与合法标签统计

需要从初始字符串 $S$ 开始，按字典序递增的顺序生成所有可能的字符串（长度不超过 $N$），并筛选出合法标签，直到找到第 $K$ 个：

• 生成字典序字符串：类似“字典序回溯”，从 $S$ 出发，逐步生成后续字符串（如长度不足 $N$ 时，在末尾添加字符；长度足够时，按字符递增调整，如 aab → aac → ... → aaz → ab → ...）。
• 合法筛选与计数：对每个生成的字符串，计算其最小循环表示并判断唯一性。若合法，则计数加 $1$；当计数达到 $K$ 时，当前字符串即为答案。
• 边界处理：若遍历完所有可能的字符串（字典序不超过全 z 的字符串）后，合法标签数量不足 $K$，输出 $-1$。

通过这三个步骤，即可确定从 $S$ 开始的第 $K$ 个合法标签（或判断不存在）。