A. 崇高序列 详细题解

题目重述

农夫约翰有一个整数 $x$。他创建了一个长度为 $n$ 的序列，通过交替整数 $x$ 和 $-x$，以 $x$ 开头。

例如，如果 $n = 5$，序列如下：$x,\ -x,\ x,\ -x,\ x$。

要求计算序列中所有整数的和。

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问题分析

序列的规律非常清晰：

• 第 $1$ 个数：$x$
• 第 $2$ 个数：$-x$
• 第 $3$ 个数：$x$
• 第 $4$ 个数：$-x$
• ...

一般地，第 $i$ 个数（$1 \le i \le n$）为：

• 当 $i$ 为奇数时：$x$
• 当 $i$ 为偶数时：$-x$

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数学推导

设序列的和为 $S$。

方法一：逐项分析

序列中每两项 $x + (-x) = 0$ 可以配对抵消。

• 如果 $n$ 是偶数，则正好有 $\frac{n}{2}$ 对 $(x, -x)$，总和为：

  $S = \frac{n}{2} \times (x - x) = \frac{n}{2} \times 0 = 0$

• 如果 $n$ 是奇数，则有 $\frac{n-1}{2}$ 对完整的 $(x, -x)$ 和一个单独的 $x$（因为以 $x$ 开头且以 $x$ 结尾），总和为：

  $S = \frac{n-1}{2} \times 0 + x = x$

方法二：公式化

更简洁的表达式：

$S = \begin{cases} 0, & n \text{ 为偶数} \\ x, & n \text{ 为奇数} \end{cases}$

或者写成：

$S = x \times (n \bmod 2)$

其中 $n \bmod 2$ 表示 $n$ 除以 $2$ 的余数（$0$ 或 $1$）。

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验证示例

示例输入：

4
1 4
2 5
3 6
4 7

计算过程：

1. $x=1,\ n=4$（偶数）$\rightarrow S = 0$
2. $x=2,\ n=5$（奇数）$\rightarrow S = 2$
3. $x=3,\ n=6$（偶数）$\rightarrow S = 0$
4. $x=4,\ n=7$（奇数）$\rightarrow S = 4$

输出：

0
2
0
4

与示例输出完全一致。

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算法步骤

1. 读入测试用例个数 $t$
2. 对每个测试用例：
   • 读入 $x$ 和 $n$
   • 如果 $n$ 是偶数，输出 $0$
   • 如果 $n$ 是奇数，输出 $x$
3. 重复直到所有测试用例处理完毕

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复杂度分析

• 时间复杂度：$O(t)$，每个测试用例只需常数时间计算
• 空间复杂度：$O(1)$，不需要额外存储

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标程代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int main() {
    int t;
    cin >> t;
    
    while (t--) {
        int x, n;
        cin >> x >> n;
        
        // n 为偶数时和为 0，n 为奇数时和为 x
        if (n % 2 == 0) {
            cout << 0 << "\n";
        } else {
            cout << x << "\n";
        }
    }
    
    return 0;
}

简化写法

利用取模运算一行输出：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int main() {
    int t;
    cin >> t;
    
    while (t--) {
        int x, n;
        cin >> x >> n;
        cout << x * (n % 2) << "\n";
    }
    
    return 0;
}

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总结

本题的核心规律是：序列中 $x$ 和 $-x$ 成对出现，每对和为 $0$。因此：

• 当 $n$ 为偶数时，所有项都能配对，总和为 $0$
• 当 $n$ 为奇数时，多出一个 $x$，总和为 $x$

这是一个非常基础的数学题，重点在于发现配对规律并写出简洁的判断逻辑。