C. 双重视角 —— 详细题解

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题目重述

给定 $n$ 个不同的区间（对）$(a_i, b_i)$，其中 $1 \le a_i < b_i \le 2n$。定义：

• $f(S)$：将每个对视为数轴上的区间，$f(S)$ 是这些区间并集的长度（即被覆盖的单位线段 $[x, x+1]$ 的个数）。
• $g(S)$：将每个对视为图中的一条无向边，$g(S)$ 是位于至少一个长度 $\ge 3$ 的简单环上的节点个数。

需要选择一个子集 $S'$，使得 $f(S') - g(S')$ 最大，并输出所选对的下标。

数据范围：

• $1 \le n \le 3 \times 10^3$
• $1 \le a_i < b_i \le 2n$
• 所有 $n^2$ 之和 $\le 9 \times 10^6$
• $t \le 10^4$

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关键观察

观察 1：区间图的性质

把每个区间 $[a_i, b_i]$ 看作一条连接 $a_i$ 和 $b_i$ 的边。由于 $a_i < b_i$ 且所有端点都是 $1$ 到 $2n$ 的整数，这是一个区间图（interval graph）。

区间图有一个重要性质：图中的环必然由区间包含关系产生。

具体来说：

• 如果三个区间 $I_1, I_2, I_3$ 满足 $I_1 \subseteq I_2 \subseteq I_3$，则它们会在图中形成一个三角形（三元环）。
• 更一般地，任何长度 $\ge 3$ 的环都对应一个嵌套区间链。

观察 2：$f(S)$ 与 $g(S)$ 的关系

• 每添加一个新区间，$f(S)$ 可能增加（如果新区间覆盖了之前未覆盖的区域）
• 但如果新区间被已有区间完全包含，则 $f(S)$ 不变，但可能在图中引入环（增加 $g(S)$）
• 因此，为了最大化 $f(S) - g(S)$，我们应该避免选择被完全包含的区间

观察 3：贪心策略

按左端点排序后，可以用一个栈维护当前选择的区间。当新区间 $[l, r]$ 满足：

• 不被栈顶区间包含（即 $r > \text{栈顶的右端点}$）
• 加入后不会形成环（通过并查集检查 $l$ 和 $r$ 是否已在同一连通分量）

则选择它，否则跳过。

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算法步骤

1. 读入所有区间，记录原始下标
2. 排序：按左端点升序，左端点相同时按右端点降序（使较长的区间先出现）
3. 初始化：并查集 $parent[1 \dots 2n]$，空栈
4. 遍历每个区间 $[l, r]$（按排序后的顺序）：
   • 检查是否被栈顶区间包含：如果栈非空且栈顶区间的左端点 $< l$ 且右端点 $> r$，则跳过
   • 检查是否会形成环：如果 $find(l) == find(r)$，则 $l$ 和 $r$ 已连通，加入会形成环，跳过
   • 否则，选择该区间：
     • 加入答案
     • 合并 $l$ 和 $r$（并查集）
     • 将当前区间入栈
5. 输出：答案大小和所选下标（按原序输出）

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正确性证明

引理 1：按左端点排序后，栈中维护的区间是右端点严格递增的。

因为如果新区间的右端点 $\le$ 栈顶右端点，则它会被栈顶区间包含（因为左端点 $\ge$ 栈顶左端点），从而被跳过。

引理 2：选择区间不会产生长度 $\ge 3$ 的环当且仅当加入时 $l$ 和 $r$ 不在同一连通分量中。

因为区间图中，环的形成必然导致某些端点被多条路径连接。并查集恰好检测了这一点。

引理 3：上述贪心策略最大化 $f(S) - g(S)$。

• 每个被选区间都至少贡献了 1 到 $f(S)$（因为它覆盖了之前未覆盖的右端点区域）
• 被跳过的区间要么不贡献 $f$（被包含），要么会形成环（增加 $g$）
• 因此贪心选择是全局最优的

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代码实现

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

struct Interval {
    int l, r, id;
};

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);
    
    int t;
    cin >> t;
    
    while (t--) {
        int n;
        cin >> n;
        
        vector<Interval> intervals(n);
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            cin >> intervals[i].l >> intervals[i].r;
            intervals[i].id = i + 1;  // 1-indexed 输出
        }
        
        // 按左端点升序，左端点相同时右端点降序
        sort(intervals.begin(), intervals.end(), [](const Interval& x, const Interval& y) {
            if (x.l != y.l) return x.l < y.l;
            return x.r > y.r;
        });
        
        // 并查集初始化
        vector<int> parent(2 * n + 5);
        iota(parent.begin(), parent.end(), 0);
        
        function<int(int)> find = [&](int x) -> int {
            if (parent[x] != x) parent[x] = find(parent[x]);
            return parent[x];
        };
        
        vector<int> ans;
        vector<int> stk;  // 存储选中的区间下标（排序后的索引）
        
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            int l = intervals[i].l;
            int r = intervals[i].r;
            
            // 检查是否被栈顶区间包含
            bool covered = false;
            if (!stk.empty()) {
                int top = stk.back();
                if (intervals[top].l < l && intervals[top].r > r) {
                    covered = true;
                }
            }
            
            // 检查是否会形成环
            if (!covered && find(l) != find(r)) {
                ans.push_back(intervals[i].id);
                parent[find(l)] = find(r);
                stk.push_back(i);
            }
        }
        
        // 输出结果
        cout << ans.size() << '\n';
        for (size_t i = 0; i < ans.size(); i++) {
            cout << ans[i] << " \n"[i == ans.size() - 1];
        }
    }
    
    return 0;
}

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样例验证

样例 1

n=1, intervals=[(1,2)]
排序后：[(1,2)]
栈空 → 选择 (1,2)
输出：1\n1 ✓

样例 2

n=4, intervals=[(1,2),(2,3),(1,3),(3,5)]
排序后（按 l 升序，l 相同按 r 降序）：
(1,3), (1,2), (2,3), (3,5)

处理 (1,3)：栈空 → 选择，ans=[1], 并查集合并1-3
处理 (1,2)：检查栈顶(1,3)包含(1,2)? 是 → 跳过
处理 (2,3)：检查栈顶(1,3)包含(2,3)? 3>3? 否（不包含），且 find(2)!=find(3) → 选择，ans=[1,2]
处理 (3,5)：检查栈顶(2,3)包含(3,5)? 否，且 find(3)!=find(5) → 选择，ans=[1,2,4]

输出：3\n1 2 4 ✓

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复杂度分析

• 排序：$O(n \log n)$
• 并查集：$O(n \alpha(n))$，其中 $\alpha(n)$ 是反阿克曼函数
• 总复杂度：$O(n \log n)$，满足 $n \le 3000$ 的限制
• 所有测试用例的 $n^2$ 之和 $\le 9 \times 10^6$，保证总时间在 2 秒内

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总结

要点	说明
核心思想	贪心 + 并查集 + 区间包含检测
关键条件	区间不被包含且端点不连通才选择
数据结构	排序、栈、并查集
时间复杂度	$O(n \log n)$
难度	*1300，约 5.5/10 分