A. Treasure Hunt 详细题解

一、问题重述

小 B 和小 K 轮流挖土。小 B 先手，每天挖 $x$ 米；小 K 后手，每天挖 $y$ 米。宝藏埋在地下 $a.5$ 米处（即 $a + 0.5$ 米）。问谁会先使总深度超过 $a.5$ 米？

• 若小 B 先挖到，输出 "NO"
• 若小 K 先挖到，输出 "YES"

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二、核心思路

由于每天挖的深度固定，我们可以将每两天（一轮）视为一个周期：

• 第一天（小 B）：挖 $x$ 米
• 第二天（小 K）：挖 $y$ 米

一轮的总深度为 $x + y$ 米。

设 $a$ 为整数部分，宝藏深度为 $a + 0.5$。
等价条件：总深度 大于 $a$ 米（因为 $a + 0.5 > a$）。

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三、数学推导

1. 完整轮数

先计算完整的两天周期数：

$$\text{full\_cycles} = \left\lfloor \frac{a}{x + y} \right\rfloor $$

经过 $2 \times \text{full\_cycles}$ 天后，总深度为：

$$\text{total} = \text{full\_cycles} \times (x + y) $$

此时总深度 $\le a$（因为除不尽时余数小于 $x+y$）。

2. 剩余深度

剩余需要挖的深度为：

$$r = a - \text{full\_cycles} \times (x + y)$$

即 $r = a \bmod (x + y)$。

3. 判断下一天

下一轮开始时，小 B 先挖 $x$ 米：

• 如果 $r < x$，则小 B 挖 $x$ 米后，总深度变为 $\text{total} + x$：
  • 因为 $\text{total} \le a$ 且 $r < x$，所以 $\text{total} + x > a$
  • 即小 B 在第一天就超过 $a$ 米 → 小 B 先挖到 → 输出 "NO"
• 如果 $r \ge x$，则小 B 挖 $x$ 米后总深度 $\le a$，还需小 K 挖 $y$ 米：
  • 小 K 挖 $y$ 米后总深度 $= \text{total} + x + y > a$（因为 $r \ge x$ 且 $x + y > r$？需谨慎）
  • 准确说：小 K 挖完后总深度 $= \text{total} + x + y$
  • 因为 $\text{total} \le a$，$\text{total} + x \le a$（由 $r \ge x$ 可得），但 $\text{total} + x + y = \text{total} + (x+y) > a$（因为 $x+y > r$ 且 $\text{total} + r = a$）
  • 所以小 K 挖完后超过 $a$ → 小 K 先挖到 → 输出 "YES"

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四、简化结论

判断条件只需要看 $a \bmod (x + y)$ 与 $x$ 的关系：

$$\text{如果 } a \bmod (x + y) < x \text{，则小 B 先挖到（输出 "NO"）} $$$$\text{否则，小 K 先挖到（输出 "YES"）}$$

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五、标程代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

void solve() {
    int x, y, a;
    cin >> x >> y >> a;
    if (a % (x + y) < x) {
        cout << "NO\n";
    } else {
        cout << "YES\n";
    }
}

int main() {
    ios_base::sync_with_stdio(0);
    cin.tie(0);
    int t;
    cin >> t;
    while (t--) solve();
    return 0;
}

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六、示例验证

示例 1：$x=1, y=2, a=4$

• $x + y = 3$
• $a \bmod 3 = 4 \bmod 3 = 1$
• $1 < x = 1$？相等，不小于 → 进入 else → 输出 "YES" ✅

示例 2：$x=2, y=1, a=4$

• $x + y = 3$
• $4 \bmod 3 = 1$
• $1 < 2$ → 输出 "NO" ✅

示例 3：$x=2, y=2, a=1$

• $x + y = 4$
• $1 \bmod 4 = 1$
• $1 < 2$ → 输出 "NO" ✅

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七、时间复杂度

• 每个测试用例 $O(1)$
• 总复杂度 $O(t)$，$t \le 1000$，完美通过

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八、总结

本题的关键在于用取模运算代替模拟：

• 一个完整周期为 $x + y$ 米
• 只看余数 $a \bmod (x + y)$ 与 $x$ 的关系
• 不需要浮点数比较（$a + 0.5$ 转化为 $a$ 的整数比较）