题目分析

我们已知：

• 平均值 $\text{mean} = a$
• 中位数 $\text{median} = b$
• 数组长度 $n$ 在 $1$ 到 $1000$ 之间
• 数组元素是整数，绝对值不超过 $10^6$
• $a, b$ 的范围是 $[-100, 100]$

需要构造一个满足条件的数组。

关键观察

1. 当 $n$ 为奇数时： 中位数是排序后中间那个数，所以数组必须包含 $b$ 作为中间元素。

2. 当 $n$ 为偶数时： 中位数是中间两个数的平均值，所以如果中间两个数是 $x$ 和 $y$，那么 $(x+y)/2 = b$，即 $x+y = 2b$。

构造思路

最简单的方法是让数组只包含两种数：$b$ 和一些其他数来控制平均值。

设我们选择 $k$ 个 $b$，以及若干个数来调整平均值。

方案一：让数组元素都相等 如果所有元素都等于 $b$，那么中位数就是 $b$，平均值也是 $b$。所以当 $a = b$ 时，直接输出 $n$ 个 $b$ 即可，其中 $1 \le n \le 1000$。

方案二：当 $a \neq b$ 时

我们让数组由两部分组成：

• $m$ 个 $b$（用来保证中位数是 $b$）
• 一些其他数来调整平均值

为了构造方便，我们选择：

• 中位数位置放 $b$
• 其余位置放可调整的数

具体构造方法：

设数组长度为 $n = 3$（奇数时）：

• 排序后的数组为 $[x, b, y]$，其中 $x \le b \le y$
• 中位数是 $b$
• 平均值：$(x + b + y)/3 = a \Rightarrow x + y = 3a - b$

由于 $x \le b \le y$，我们可以构造：

• 让 $x = b - d$，$y = b + d$，但这样 $x+y = 2b$，则 $2b = 3a - b \Rightarrow 3b = 3a \Rightarrow b=a$，不适用于 $a \neq b$

所以不能这样。我们固定 $x$ 为一个适当的值，然后计算 $y$。

由于 $x \le b$，我们取 $x = \min(b, \text{(某个数)})$，但更好的方法是：

取 $x = b - 1$（如果 $b-1 \le b$，总是成立）， 则 $y = 3a - b - x = 3a - b - (b-1) = 3a - 2b + 1$

只要 $y \ge b$ 且 $|x|,|y| \le 10^6$ 即可。但 $y$ 可能太小。

更好的构造：使用更多元素

使用对称构造：设数组长度为 $n = 2m+1$（奇数），排序后为：

$$[c, c, ..., c, b, d, d, ..., d]$$

其中 $c$ 出现 $m$ 次，$d$ 出现 $m$ 次，$b$ 出现 $1$ 次。

条件：

• 中位数是 $b$，需要 $c \le b \le d$
• 总元素：$n = 2m+1$
• 总和：$m \cdot c + b + m \cdot d = m(c+d) + b$
• 平均值：$\frac{m(c+d) + b}{2m+1} = a$
• 所以 $m(c+d) + b = a(2m+1)$
• 故 $c+d = \frac{a(2m+1) - b}{m}$

为了让 $c$ 和 $d$ 为整数且 $c \le b \le d$，我们可以选择 $m$ 使得分子能被 $m$ 整除。

取 $m=1$，即 $n=3$： $c+d = a(3) - b = 3a - b$

我们取 $c = b$，则 $d = 3a - 2b$。 条件：$c \le b \le d$ 即 $b \le b$ 且 $b \le 3a-2b \Rightarrow 3b \le 3a \Rightarrow b \le a$

如果 $b \le a$，这个构造可行。 如果 $b > a$，则 $d < b$，不满足 $b \le d$。

因此分两种情况：

情况 1：$b \le a$

取 $n=3$，数组：$[b, b, 3a-2b]$ 排序后：$[b, b, 3a-2b]$

• 中位数：$b$
• 平均值：$(b + b + 3a-2b)/3 = 3a/3 = a$
• 需要检查 $b \le 3a-2b$ 即 $b \le a$，满足
• 还需要 $|3a-2b| \le 10^6$，由于 $|a|,|b| \le 100$，所以 $|3a-2b| \le 500 \le 10^6$，满足

情况 2：$b > a$

此时 $b \le a$ 不成立，我们用另一种构造： 取 $n=3$，数组：$[3a-2b, b, b]$ 排序后：$[3a-2b, b, b]$

• 中位数：$b$
• 平均值相同：$(3a-2b + b + b)/3 = 3a/3 = a$
• 需要 $3a-2b \le b$ 即 $3a \le 3b \Rightarrow a \le b$，满足
• 同样 $|3a-2b| \le 500 \le 10^6$，满足

情况 3：$a = b$

此时我们可以用一个更简单的构造： 取 $n=1$，数组：$[a]$，中位数和平均数都是 $a$。

算法步骤

1. 如果 $a = b$，输出长度为 1 的数组 $[a]$
2. 否则：
   • 如果 $b \le a$，输出 $[b, b, 3a-2b]$
   • 如果 $b > a$，输出 $[3a-2b, b, b]$

C++ 代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);
    
    int a, b;
    cin >> a >> b;
    
    if (a == b) {
        // 平均值和中位数相等的情况
        cout << "1\n";
        cout << a << "\n";
    } else if (b <= a) {
        // 情况1: b <= a
        cout << "3\n";
        cout << b << " " << b << " " << 3 * a - 2 * b << "\n";
    } else {
        // 情况2: b > a
        cout << "3\n";
        cout << 3 * a - 2 * b << " " << b << " " << b << "\n";
    }
    
    return 0;
}

证明

正确性验证

当 $b \le a$ 时： 数组 $[b, b, 3a-2b]$

• 排序后：若 $b \le 3a-2b$（由 $b \le a$ 推出 $3b \le 3a$，即 $b \le 3a-2b$），排序为 $[b, b, 3a-2b]$，中位数是 $b$； 若 $3a-2b < b$，则排序为 $[3a-2b, b, b]$，中位数仍是 $b$。
• 平均值：$(b + b + 3a-2b)/3 = 3a/3 = a$

当 $b > a$ 时： 数组 $[3a-2b, b, b]$

• 排序后：若 $3a-2b \le b$（由 $a \le b$ 推出 $3a \le 3b$，即 $3a-2b \le b$），排序为 $[3a-2b, b, b]$，中位数是 $b$； 若 $b < 3a-2b$，则排序为 $[b, b, 3a-2b]$，中位数仍是 $b$。
• 平均值：$(3a-2b + b + b)/3 = 3a/3 = a$

边界检查： $|3a-2b| \le 3 \times 100 + 2 \times 100 = 500 \le 10^6$，满足绝对值限制。

复杂度

• 时间复杂度：$O(1)$
• 空间复杂度：$O(1)$