完整题解（C++ 版本）

问题重述

我们需要用 $w$ 个白瓶和 $b$ 个黑瓶搭建一个边长为 $k$ 的三角形框架。

• 边长为 $k$ 的三角形需要 $S = \frac{k(k+1)}{2}$ 个球瓶
• 同一行的球瓶颜色必须相同
• 不同行的颜色可以不同
• 目标是最大化 $k$

关键观察

重要结论：对于集合 $\{1, 2, \dots, k\}$，它的所有子集和可以覆盖从 $0$ 到 $S$ 的所有整数。

这意味着：对于任意一个 $A$ 满足 $0 \le A \le S$，我们都能找到 $\{1, 2, \dots, k\}$ 的一个子集，其元素和正好等于 $A$。

可行性分析

设白瓶使用的行号集合和为 $A$，则黑瓶使用的行号集合和为 $S - A$。

我们需要：

• $A \le w$（白瓶够用）
• $S - A \le b$（黑瓶够用）

即： [ S - b \le A \le w ]

同时 $A$ 必须是 $0$ 到 $S$ 之间的某个整数，且由于子集和的可覆盖性，只要这个区间非空，就存在可行的 $A$。

区间 $[S-b, w]$ 非空的条件是： [ S - b \le w \quad \text{且} \quad S - b \le S \quad \text{（自动满足）} ]

而 $S - b \le w$ 等价于： [ S \le w + b ]

结论：可行条件就是总球瓶数足够： [ \boxed{\frac{k(k+1)}{2} \le w + b} ]

求解最大 $k$

解二次不等式： [ k^2 + k - 2(w+b) \le 0 ]

得到： [ k \le \frac{-1 + \sqrt{1 + 8(w+b)}}{2} ]

因此： [ k_{\max} = \left\lfloor \frac{-1 + \sqrt{1 + 8(w+b)}}{2} \right\rfloor ]

时间复杂度

每个测试用例 $O(1)$ 时间，总复杂度 $O(t)$。

注意事项

• $w, b \le 10^9$，所以 $w+b$ 最大可达 $2 \times 10^9$，需要用 long long 类型
• 使用 sqrt 函数计算平方根，结果取整即可

完整代码（带注释）

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;

int main() {
    int t;
    cin >> t;
    
    while (t--) {
        long long w, b;
        cin >> w >> b;
        
        long long total = w + b;  // 总球瓶数
        
        // 解方程 k(k+1)/2 <= total
        // 即 k^2 + k - 2*total <= 0
        // k = floor((-1 + sqrt(1 + 8*total)) / 2)
        long long k = (sqrt(1 + 8 * total) - 1) / 2;
        
        cout << k << endl;
    }
    
    return 0;
}