题意理解

我们有一个无穷序列，它包含所有与 n 互质的正整数，并按升序排列。
题目要求我们输出这个序列中从第 k 项开始的连续 c 项。

例如 n=10 时，序列是： 1, 3, 7, 9, 11, 13, 17, 19, 21, 23, 27, 29, ...

关键性质

1. 周期性
   与 n 互质的数在模 n 的剩余系中具有周期性。
   具体来说，如果 a 与 n 互质，那么 a + n 也与 n 互质。
   所以这个序列可以看作：
   先列出 1..n 中与 n 互质的数（共 φ(n) 个），然后每个数 +n，+2n, ... 这样重复。

2. 欧拉函数 φ(n)
   φ(n) 表示 1..n 中与 n 互质的数的个数。
   在长度为 n 的任意连续区间中，恰有 φ(n) 个与 n 互质的数（由周期性可得）。

核心问题

我们需要找到第 k 个与 n 互质的数，然后连续取 c 个。

如何找第 k 个？

设第 k 个与 n 互质的数为 x。
那么 1..x 中与 n 互质的数的个数 = k。

于是我们可以二分 x，计算区间 [1, x] 内与 n 互质的数的个数，找到最小的 x 使得这个个数 ≥ k。

如何计算 [1, x] 中与 n 互质的数的个数？

设这个函数为 count_coprime(n, x)。

方法：容斥原理

1. 对 n 做质因数分解，得到质因子列表 primes。
2. 使用容斥原理计算 [1, x] 中与 n 互质的数的个数： [ \text{count} = x - \sum \left\lfloor \frac{x}{p_i} \right\rfloor + \sum \left\lfloor \frac{x}{p_i p_j} \right\rfloor - \sum \left\lfloor \frac{x}{p_i p_j p_k} \right\rfloor + \cdots ] 其中 p_i 是 n 的质因子。

因为 n ≤ 1e14，质因子个数 m 不会太多（最多 10 多个），所以容斥的复杂度 O(2^m) 是可接受的。

算法步骤

1. 质因数分解 n
   用试除法分解 n，得到所有质因子。

2. 二分查找第 k 个互质数的位置
   下界：1
   上界：估计：第 k 个互质数 ≤ k * n / φ(n) + n，但更安全的是直接设上界为一个足够大的数，比如 k * 2 加上一些缓冲，或者用公式 k * (n / φ(n)) 的几倍。
   二分 mid，计算 count = [1, mid] 中与 n 互质的数的个数：

   • 如果 count < k，下界 = mid + 1
   • 否则 上界 = mid
     最终下界就是第 k 个互质数。

3. 输出 c 个连续互质数
   从第 k 个互质数开始，逐个检查后续的数是否与 n 互质（用 gcd），输出 c 个。
   但直接逐个检查可能太慢（c 最大 1e5，k 很大时可能检查很多数）。
   优化：利用周期性，先找出 1..n 中所有与 n 互质的数（即一个完整周期的互质数），然后通过周期偏移生成后续的互质数。

优化输出

• 先找出 1..n 中所有与 n 互质的数，存入数组 base。
• 设第 k 个互质数是 x，它位于某个周期中：
  x = base[pos] + cycle * n，
  其中 cycle = (x - 1) / n，pos 是 base 中的索引。
• 然后从 pos 开始，在 base 中循环取数，每次加 n 的倍数，输出 c 个。

这样输出阶段是 O(c) 时间。

复杂度分析

• 质因数分解：O(√n)，n 最大 1e14，√n = 1e7，可接受。
• 二分查找：O(log(k * n) * 2^m)，m 是质因子个数，很小。
• 输出：O(c) 或 O(φ(n))。

举例验证

n=10, k=3, c=4

1. 与 10 互质的 base = [1, 3, 7, 9]（φ(10)=4）
2. 二分找第 3 个互质数：
   • [1,1] 有 1 个互质数 <3
   • [1,5] 有 2 个互质数 <3
   • [1,7] 有 3 个互质数 ≥3 → 第 3 个是 7
3. 从 7 开始取 4 个：7, 9, 11(=1+10), 13(=3+10)
   输出：7 9 11 13

总结

这道题结合了数论（欧拉函数、互质、容斥）与二分查找，并利用周期性优化输出，是一道综合性较强的题目。
关键点在于快速计算前 x 个数中与 n 互质的数的个数，以及高效生成互质数序列。