题解

我们需要找到使总利润最大的最小整数 $T$ 值。总利润由公式 $P(T) = T \cdot (C - T \cdot N)$ 决定。这是一个关于 $T$ 的二次函数，可以通过数学方法找到其最大值点。

数学推导

1. 利润函数： [ $P(T) = T \cdot (C - T \cdot N) = C \cdot T - N \cdot T^2$ ] 这是一个关于 $T$ 的二次函数，开口向下（因为 $-N < 0$），其最大值出现在顶点处。

2. 求顶点： 二次函数 $P(T) = -N \cdot T^2 + C \cdot T$ 的顶点横坐标为： [ $T_{\text{vertex}} = \frac{-b}{2a} = \frac{-C}{2 \cdot (-N)} = \frac{C}{2N}$ ] 由于 $T$ 必须是整数，因此最优的 $T$ 是离 $T_{\text{vertex}}$ 最近的两个整数之一（即 $\left\lfloor \frac{C}{2N} \right\rfloor$ 和 $\left\lceil \frac{C}{2N} \right\rceil$）。

3. 边界条件：

   • 如果 $N = 0$ 或 $C = 0$，则利润恒为 $0$，此时 $T_{\text{optim}} = 0$。
   • 如果 $C \leq TN$，则 $P(T) \leq 0$，因此最优解为 $T_{\text{optim}} = 0$。

4. 最优解：

   • 计算 $T_{\text{candidate}} = \left\lfloor \frac{C}{2N} \right\rfloor$ 和 $T_{\text{candidate}} + 1$。
   • 比较 $P(T_{\text{candidate}})$ 和 $P(T_{\text{candidate}} + 1)$，选择使利润最大的最小 $T$。

算法步骤

1. 如果 $N = 0$ 或 $C = 0$，直接返回 $0$。
2. 计算 $T_{\text{candidate}} = \left\lfloor \frac{C}{2N} \right\rfloor$。
3. 计算 $P(T_{\text{candidate}})$ 和 $P(T_{\text{candidate}} + 1)$。
4. 如果 $P(T_{\text{candidate}} + 1) > P(T_{\text{candidate}})$，则 $T_{\text{optim}} = T_{\text{candidate}} + 1$。
5. 否则，$T_{\text{optim}} = T_{\text{candidate}}$。
6. 如果 $T_{\text{optim}} < 0$ 或 $C - N \cdot T_{\text{optim}} < 0$，则 $T_{\text{optim}} = 0$。

代码实现

#include <iostream>
#include <cstdio>  
using namespace std;
typedef long long ll;

int main() {
	ll n, c;
	while(scanf("%lld%lld", &n, &c) == 2) {
		if(n == 0) {
			printf("0\n");
			continue;
		}
		ll x = c / (2 * n);
		ll y = x + 1;
		printf("%lld\n", x * (c - n * x) >= y * (c - n * y) ? x : y);
	}
	return 0;
}