解题思路

问题分析

1. 三维路径问题：我们需要在立方体表面找到从原点 $(0, 0, 0)$ 到给定点 $(x, y, z)$ 的最短路径。
2. 表面展开：将立方体的表面展开成一个二维平面，将三维问题转化为二维平面上的最短路径问题。
3. 欧几里得距离：在展开后的平面上，最短路径即为两点之间的直线距离。

关键步骤

1. 立方体展开：
   • 通过递归模拟立方体的展开过程，考虑所有可能的展开方式。
   • 每次展开将立方体的一个面平铺到当前平面上，并更新坐标。
2. 路径计算：
   • 在展开后的平面上，计算从原点 $(0, 0, 0)$ 到目标点 $(x, y, z)$ 的欧几里得距离平方。
   • 取所有可能展开方式中的最小值作为最终结果。

数学基础

• 最短路径的平方等于展开平面上两点之间的欧几里得距离平方： [ \text{distance}^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 ]
• 通过递归展开，确保覆盖所有可能的路径组合。

解题方法

核心函数解析

1. 函数 turn：

   • 功能：递归模拟立方体的展开过程。
   • 参数：
     • i, j：记录当前展开方向的偏移量（范围 $[-2, 2]$）。
     • x, y, z：当前展开状态下的坐标变换。
     • x0, y0：记录原始坐标的偏移量。
     • L, W, H：当前展开面的长、宽、高（可能因旋转交换）。
   • 终止条件：当 $z = 0$ 时，计算二维距离平方并更新最小值。

2. 函数 rect_dist：

   • 预处理：调整输入点 $(x1, y1, z1)$ 和 $(x2, y2, z2)$ 的坐标，确保起点位于 $(0, 0, 0)$。
   • 调用 turn：从初始状态 $(0, 0)$ 开始递归展开立方体。

算法流程

1. 输入处理：读取立方体尺寸和目标点坐标。
2. 坐标调整：确保目标点位于立方体表面。
3. 递归展开：调用 turn 函数模拟所有可能的展开方式。
4. 结果输出：输出所有展开方式中的最小距离平方。

复杂度分析

• 时间复杂度：$O(1)$，因为递归深度和展开方式有限（最多 $4$ 种展开方向）。
• 空间复杂度：$O(1)$，仅使用常数级别的额外空间。

C++代码实现：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<vector>
using namespace std;
 
int ans;
void turn(int i,int j,int x,int y,int z,int x0,int y0,int L,int W,int H)
{
 if(z==0)ans=min(ans,(x-x0)*(x-x0)+(y-y0)*(y-y0));
 	else
 		{
 		 if(i>=0&&i<2)
		  turn(i+1,j,H-z,y,x,x0+H,y0,H,W,L);
 		 if(j>=0&&j<2)
		  turn(i,j+1,x,H-z,y,x0,y0+H,L,H,W);
 		 if(i<=0&&i>-2)
		  turn(i-1,j,z,y,L-x,x0-L,y0,H,W,L);
 		 if(j<=0&&j>-2)
		  turn(i,j-1,x,z,W-y,x0,y0-W,L,H,W);
		}
}
 
int rect_dist(int L,int W,int H,int x1,int y1,int z1,int x2,int y2,int z2)
{
 if(z1!=0&&z1!=H)
 	if(y1==0||y1==W)
 		swap(y1,z1),swap(y2,z2),swap(W,H);
 		else 
 			swap(x1,z1),swap(x2,z2),swap(L,H);
 if(z1==H)
 	z1=0,z2=H-z2;
ans=1<<30;
turn(0,0,x2,y2,z2,x1,y1,L,W,H);
return ans;
}
 
int main()
{//freopen("t.txt","r",stdin);
 int L,W,H,x,y,z;
 while(scanf("%d%d%d%d%d%d",&L,&W,&H,&x,&y,&z))
 	{
 	 if(L==0&&W==0&&H==0&&x==0&&y==0&&z==0)return 0;
 	 printf("%d\n",rect_dist(L,W,H,0,0,0,x,y,z));
	}
 return 0;
}