题目描述

考虑一个关于两个变量的实多项式P(x,y)。如果对于所有实数x和y都满足： P(x·cosα - y·sinα, x·sinα + y·cosα) = P(x,y) 则称该多项式对于旋转角度α是不变的。

现在考虑由所有次数不超过d且在旋转2π/n角度下不变的二元实多项式构成的实向量空间。你的任务是计算这个向量空间的维数。

提示：任何次数不超过d的多项式都可以唯一表示为： P(x,y) = Σa_{ij}x^i y^j （i,j≥0且i+j≤d） 其中a_{ij}为实数系数。

输入格式

输入包含两个用空格分隔的正整数d和n，保证都小于1000。

输出格式

输出一个整数M，表示所述向量空间的维数。

示例分析

输入样例1：

2 2

输出样例1：

4

解题思路

1. 旋转不变性分析：

   • 多项式在旋转后保持不变，意味着其系数需要满足特定关系
   • 将旋转后的坐标代入多项式，可以得到系数间的约束条件

2. 不变量理论应用：

   • 寻找旋转对称下的基本不变量
   • 对于旋转2π/n，基本不变量通常包括x²+y²和更高阶的组合

3. 维数计算：

   • 确定独立不变多项式的最大数量
   • 考虑不同n值下的特殊情况

C++代码实现

#include <iostream>
using namespace std;

int calculateDimension(int d, int n) {
    int dimension = 0;
    for (int i = 0; i <= d; ++i) {
        for (int j = 0; i + j <= d; ++j) {
            if ((i - j) % n == 0) {
                dimension++;
            }
        }
    }
    return dimension;
}

int main() {
    int d, n;
    cin >> d >> n;
    cout << calculateDimension(d, n) << endl;
    return 0;
}

算法标签

#代数几何 #不变量理论 #多项式代数 #组合数学