题目描述

现在需要为本地业余篮球联赛的五支球队（蚂蚁队、桶队、猫队、运球者队、大象队，分别对应字母 A、B、C、D、E）确定季前赛的中位数排名。中位数排名的定义是：与所有给定排名的距离之和最小的排名。若存在多个这样的排名，选择按字母顺序最小的那个。

距离的计算方式：两个排名之间的距离等于所有球队对中相对顺序不同的对数。例如，排名 ACDBE 和 ABCDE 中，球队对 (B,C) 和 (B,D) 的顺序不同，因此距离为 2。

输入输出要求：

输入包含多个测试用例，每个用例第一行是整数 n（n≤100），随后 n 行是五个字母的排列（代表 n 个专家的排名）。 输出每个用例的中位数排名及其距离总和。若有多个解，输出字典序最小的。 解题思路

1. 问题分析 我们需要枚举所有可能的五支球队的排列（共 5!=120 种可能），计算每个排列与所有输入排名的距离之和，找到总和最小的排列。若有多个最小值，选择字典序最小的排列。
2. 关键步骤 2.1 生成所有可能的排列 五支球队的排列共有 120 种，可以通过预先生成所有排列并按字典序排序，以便后续处理时直接遍历并比较字典序。 2.2 计算两个排名之间的距离 对于两个排列 A 和 B，计算所有球队对 (i,j) 中在 A 和 B 中顺序不同的对数。具体步骤如下：

对每个球队对 (i,j)（i≠j），检查在 A 中 i 是否在 j 前面，同时在 B 中 i 是否在 j 后面，或者反之。若顺序不同，则计数加 1。 2.3 枚举所有候选排列并计算总距离 遍历所有 120 种排列，对每个排列计算其与所有输入排名的距离之和。记录当前最小总距离及对应的排列。若遇到总距离相同的排列，比较字典序，保留较小的那个。 3. 实现细节 3.1 生成排列的字典序顺序 可以使用 Python 的itertools.permutations生成所有排列，然后将其转换为字符串形式（如 "ABCDE"），并按字典序排序，确保在枚举时按字典序顺序处理，以便在总距离相同时自动选择字典序最小的排列。 3.2 距离计算函数 定义一个函数distance(rank1, rank2)，计算两个长度为 5 的字符串之间的距离。通过双重循环遍历所有球队对，比较它们在两个字符串中的顺序是否不同。 3.3 处理输入输出 读取每个测试用例的 n 个排名，对每个候选排列计算总距离，更新最小总距离和对应的最优排列。最后输出结果。 4. 复杂度分析 每个测试用例需要枚举 120 种排列，每个排列需要与 n 个输入排名计算距离。 计算两个排名的距离的时间复杂度为 O (5×4)=O (20)（因为共有 5×4/2=10 对球队，但双重循环遍历所有 i<j 的对共 10 次）。 总时间复杂度为 O (120×n×20) = O (2400n)，对于 n≤100 来说，完全可行。 示例代码 python

import itertools

def calculate_distance(rank1, rank2):
    distance = 0
    for i in range(5):
        for j in range(i+1, 5):
            a = rank1[i]
            b = rank1[j]
            # 在rank2中查找a和b的位置
            pos1 = rank2.index(a)
            pos2 = rank2.index(b)
            if (pos1 > pos2) != (i > j):
                distance += 1
    return distance

def find_median_ranking(input_ranks):
    # 生成所有可能的排列，按字典序排序
    teams = ['A', 'B', 'C', 'D', 'E']
    all_permutations = [''.join(p) for p in itertools.permutations(teams)]
    all_permutations.sort()  # 确保按字典序处理
    
    min_total = float('inf')
    best_rank = None
    
    for candidate in all_permutations:
        total = 0
        for rank in input_ranks:
            total += calculate_distance(candidate, rank)
        if total < min_total or (total == min_total and candidate < best_rank):
            min_total = total
            best_rank = candidate
    return best_rank, min_total

def main():
    import sys
    input = sys.stdin.read().split()
    ptr = 0
    while True:
        n = int(input[ptr])
        ptr += 1
        if n == 0:
            break
        input_ranks = []
        for _ in range(n):
            rank = input[ptr]
            ptr += 1
            input_ranks.append(rank)
        best, value = find_median_ranking(input_ranks)
        print(f"{best} is the median ranking with value {value}.")

if __name__ == "__main__":
    main()

代码解释 calculate_distance函数：计算两个排名之间的距离，通过遍历所有球队对并比较顺序差异。 find_median_ranking函数：生成所有排列并按字典序排序，遍历每个候选排列，计算其与所有输入排名的总距离，更新最小总距离和最优排列（确保字典序最小）。 main函数：读取输入数据，处理每个测试用例，调用上述函数求解并输出结果。

该方法通过枚举所有可能的排列并按字典序处理，确保在总距离相同时选择字典序最小的解，满足题目要求。

题意分析

本题的核心是在给定的多个由字母 A、B、C、D、E 组成的球队排名（代表蚂蚁队、桶队、猫队、运球者队和大象队的排名）中，找到一个中位数排名。中位数排名的定义是与所有给定排名的距离之和最小的排名，其中两个排名之间的距离是指两队之间相对顺序不同的总对数。需要处理多个输入集，每个输入集先输入排名的数量 n，然后是 n 个具体的排名，以输入 0 表示所有输入结束。最终输出每个输入集对应的中位数排名及其值，若有多个中位数排名，输出按字母顺序排在前面的那个。

解题思路

1. 输入处理：读取每个输入集的排名数量 n，然后依次读取 n 个由字母 A、B、C、D、E 组成的排名字符串，存储在数组 a 中。
2. 生成所有可能的排名：使用 next_permutation 函数对初始排名字符串 s = "ABCDE" 进行全排列，遍历所有可能的排名情况。
3. 计算距离和：对于每个生成的排名 s，遍历输入的 n 个排名 a[i]，对于每个 a[i]，再遍历其中的每一对字母（共 C(5, 2) = 10 对），在当前生成的排名 s 中找到这两个字母的位置 tj 和 tk，若 tj > tk，则说明在这两个排名中这对字母的相对顺序不同，距离和 count 加 1。计算完 s 与所有输入排名的距离和 count 后，与当前最小距离和 js 比较。
4. 更新中位数排名：若 count < js，则更新最小距离和 js 为 count，并将当前排名 s 更新为中位数排名 jg。
5. 输出结果：遍历完所有可能的排名后，输出中位数排名 jg 及其最小距离和 js，格式为 ranking is the median ranking with value value.。

复杂度分析

1. 时间复杂度：
   • 输入部分，读取 n 个排名，时间复杂度为 \(O(n)\)，其中 n 是每个输入集中排名的数量。
   • 生成所有可能的排名，next_permutation 函数生成全排列的时间复杂度为 \(O(5!)\)，对于每个生成的排名，需要计算与 n 个输入排名的距离，计算距离的过程中，对于每个输入排名有 \(C(5, 2) = 10\) 对字母需要比较，所以计算距离的时间复杂度为 \(O(n \times 10)\)。因此，总的时间复杂度为 \(O(5! \times n \times 10)\)，在 n 不超过 100 的情况下，该算法在可接受的时间范围内。
2. 空间复杂度：
   • 存储输入的 n 个排名需要 \(O(n)\) 的空间，存储生成的排名以及中间变量等额外空间为常数级，所以总的空间复杂度为 \(O(n)\)。

代码实现

#include <iostream>
#include <string>
#include <algorithm>
#include <cstdio>
using namespace std;

string a[108];

int main() {
    while (1) {
        int n;
        cin >> n;
        if (n == 0) {
            break;
        }
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            cin >> a[i];
        }
        string s = "ABCDE";
        string jg = "ABCDE";
        int js = 1000;
        do {
            int count = 0;
            for (int i = 0; i < n; i++) {
                for (int j = 0; j < 5; j++) {
                    for (int k = j + 1; k < 5; k++) {
                        char x = a[i][j];
                        char y = a[i][k];
                        int tj, tk;
                        for (int h = 0; h < 5; h++) {
                            if (s[h] == x) {
                                tj = h;
                            }
                            if (s[h] == y) {
                                tk = h;
                            }
                        }
                        if (tj > tk) {
                            count++;
                        }
                    }
                }
            }
            if (count < js) {
                js = count;
                jg = s;
            }
        } while (next_permutation(s.begin(), s.end()));
        cout << jg << " is the median ranking with value " << js << "." << endl;
    }
    return 0;
}