POJ1543 Perfect Cubes 题解

题目理解

本题要求找出所有满足$a^3 = b^3 + c^3 + d^3$的四元组$(a,b,c,d)$，其中$2 \leq a \leq n$，且$1 \leq b \leq c \leq d < a$。需要按特定格式输出所有符合条件的组合。

算法思路

暴力枚举法

1. 预处理立方数：预先计算$1$到$n$的立方值存储起来
2. 四重循环枚举：
   • 外层循环枚举$a$（$3$到$n$）
   • 内层三重循环枚举$b,c,d$（满足$b \leq c \leq d < a$）
3. 提前终止优化：当$b^3+c^3+d^3 > a^3$时终止最内层循环

数学表达

寻找满足以下等式的整数解：

约束条件：

代码解析

#include <stdio.h>

#define N 100
long cube[N + 1]; // 存储立方数的数组

// 预处理计算1到n的立方值
void setcube(int n) {
    for(int i = 0; i <= n; i++) {
        cube[i] = i * i * i;
    }
}

int main(void) {
    setcube(N); // 初始化立方表
    
    long n, a, b, c, d, sum;
    
    while(~scanf("%ld", &n)) {
        for(a = 3; a <= n; a++) {
            for(b = 2; b <= n; b++) {
                for(c = b; c <= n; c++) {
                    for(d = c; d <= n; d++) {
                        sum = cube[b] + cube[c] + cube[d];
                        if(cube[a] == sum) {
                            printf("Cube = %ld, Triple = (%ld,%ld,%ld)\n", a, b, c, d);
                        }
                        else if(sum > cube[a]) {
                            break; // 提前终止不必要的计算
                        }
                    }
                }
            }
        }
    }
    
    return 0;
}

复杂度分析

• 时间复杂度：$O(n^4)$

  • 四重循环嵌套，最坏情况下需要枚举$n^4$种组合
  • 实际运行中由于提前终止优化，效率会好于最坏情况

• 空间复杂度：$O(n)$

  • 只需要存储$n$个立方数

关键点说明

1. 立方数预处理：

   • 预先计算并存储立方值避免重复计算
   • 空间换时间的典型优化

2. 循环边界设置：

   • $a$从3开始（因为$2^3=8$不可能表示为三个正整数的立方和）
   • $b$从2开始（因为$1^3+1^3+1^3=3 < 8=2^3$）

3. 输出格式：

   • 严格按照题目要求的格式输出
   • 每组解输出为$Cube = a, Triple = (b,c,d)$

数学性质

1. 方程性质：

   • 这是三维的费马方程特例
   • 对于$a \leq 100$存在多个整数解

2. 搜索空间缩减：

   • 由于$b \leq c \leq d < a$，实际搜索空间小于$n^4$
   • 当$b^3 > a^3/3$时可提前终止循环

优化建议

1. 进一步剪枝：

   if(cube[b] > cube[a]/3) break;
   if(cube[b]+cube[c] > cube[a]-cube[c]) break; 
   

2. 并行计算：

   • 不同$a$值的搜索可以并行处理

3. 哈希预处理：

   • 预先计算所有可能的三数立方和存入哈希表
   • 查询时直接查找$a^3$是否存在

示例分析

对于输入$n=24$，程序将输出：

Cube = 6, Triple = (3,4,5)
Cube = 12, Triple = (6,8,10)
Cube = 18, Triple = (2,12,16)
Cube = 18, Triple = (9,12,15)
Cube = 19, Triple = (3,10,18)
Cube = 20, Triple = (7,14,17)
Cube = 24, Triple = (12,16,20)

这些解都满足$a^3 = b^3 + c^3 + d^3$的关系。