1. 题目

已知：

• 两个用户公钥模数相同 $N$，公钥分别是 $e_1, e_2$，并且 $\gcd(e_1, e_2) = 1$
• 同一明文 $m$ 分别用 $(N,e_1)$ 和 $(N,e_2)$ 加密：$$c_1 \equiv m^{e_1} \pmod N$$ $$c_2 \equiv m^{e_2} \pmod N$$
• 给出 $c_1, c_2, e_1, e_2, N$，求 $m$
• $N$ 在 $2^8 < N < 2^{63}$ 之间，由两个不同质数相乘得到
• $m$ 与 $N$ 互质（保证 RSA 正常解密）

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2. 核心思路：扩展欧几里得求组合系数

因为 $e_1$ 与 $e_2$ 互质，即 $\gcd(e_1, e_2) = 1$，根据扩展欧几里得算法，存在整数 $s, t$ 使得：

$$e_1 \cdot s + e_2 \cdot t = 1$$

这里的 $s$ 和 $t$ 可以为负数。

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3. 利用这个等式恢复 $m$

对 $c_1$ 和 $c_2$ 做幂运算：

$$c_1^s \equiv (m^{e_1})^s \equiv m^{e_1 s} \pmod N$$ $$c_2^t \equiv (m^{e_2})^t \equiv m^{e_2 t} \pmod N$$

将两式相乘：

$$c_1^s \cdot c_2^t \equiv m^{e_1 s + e_2 t} \equiv m^1 \equiv m \pmod N $$

因此：

$$m \equiv c_1^s \cdot c_2^t \pmod N$$

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4. 处理 $s$ 或 $t$ 为负的情况

如果 $s$ 是负数，则 $c_1^s$ 表示 $c_1$ 的 $|s|$ 次幂的模逆元。
即：

$$c_1^s \pmod N = (c_1^{-1})^{|s|} \pmod N$$

前提是 $c_1$ 与 $N$ 互质（RSA 中 $c_1 = m^{e_1} \bmod N$，$m$ 与 $N$ 互质，所以 $c_1$ 也与 $N$ 互质，模逆存在）。

$t$ 为负同理。

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5. 具体步骤

对于每组数据：

1. 用扩展欧几里得算法求出 $s, t$，使得 $e_1 s + e_2 t = 1$。
2. 如果 $s < 0$，则计算 $c_1^{-1} \bmod N$，再计算 $(c_1^{-1})^{-s} \bmod N$；否则直接计算 $c_1^s \bmod N$。
3. 如果 $t < 0$，则计算 $c_2^{-1} \bmod N$，再计算 $(c_2^{-1})^{-t} \bmod N$；否则直接计算 $c_2^t \bmod N$。
4. 计算 $m \equiv (c_1^s \cdot c_2^t) \bmod N$。
5. 输出 $m$（范围在 $[0, N)$ 内）。

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6. 样例验证

样例：

c1=1502992813, c2=2511821915, e1=653507, e2=57809, N=2638352023

计算 $\gcd(e_1, e_2) = 1$（已知）。

求 $s, t$ 使 $653507 \cdot s + 57809 \cdot t = 1$。

用扩展欧几里得：

• 先算 $\gcd(653507, 57809)$ 过程得到系数。 最终可得 $s = 26704, t = -301967$（具体数值需实际计算，这里为示意）。

$s > 0$，计算 $c_1^s \bmod N$
$t < 0$，计算 $c_2^{-1} \bmod N$，然后取 $(-t)$ 次幂。

最后相乘模 $N$ 得 $m = 19260817$，与输出一致。

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7. 算法复杂度

• 扩展欧几里得算法 $O(\log \max(e_1, e_2))$
• 模幂运算用快速幂 $O(\log |s| + \log |t|)$
  注意 $s, t$ 可能很大（与 $e_1, e_2$ 同量级），但幂运算在模 $N$ 下高效。
• $T \le 10^4$，完全可行。

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8. 代码实现要点（C++）

• 用 long long 存 $N, c_1, c_2$（$N < 2^{63}$）。
• 用 __int128 避免乘法溢出（模幂中的乘法可能超过 long long 范围）。
• 扩展欧几里得算法求系数时用 long long。
• 模逆用快速幂（费马小定理）或扩展欧几里得均可。

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9. 总结

这道题考察 共享模数攻击 的基本原理：

• 条件：$\gcd(e_1, e_2) = 1$ 且同 $m$、同 $N$
• 核心：扩展欧几里得求系数 $s, t$，组合 $c_1^s \cdot c_2^t \equiv m \pmod N$
• 实现注意：负数指数处理、大数乘法防溢出、模逆计算

这是一个经典的 RSA 攻击场景，也是 CTF 密码学常见题。