「POI 2023/2024 R3」Żyrandol 题解

题目分析

这道题描述了一个无限吊灯的组装过程，我们需要统计在特定条件下满足类型序列要求的路径数量。主要难点在于：

1. 无限结构：吊灯有无限多个灯座
2. 复杂连接规则：每个灯座根据其类型连接不同数量的下方灯座
3. 大规模查询：$k$ 可达 $10^7$，查询次数 $q$ 可达 $200000$

核心思路

1. 问题转化

将吊灯结构看作一棵无限树：

• 根节点：灯座 1（固定在天花板）
• 父子关系：如果灯座 $x$ 连接到灯座 $y$，则 $y$ 是 $x$ 的父节点
• 节点类型：编号为 $i$ 的灯座类型为 $(i-1) \bmod k + 1$

2. 关键观察

类型序列的周期性：由于 $k$ 是奇数，灯座类型的分布具有周期性，这让我们能够找到状态转移的循环节。

矩阵表示：使用 $3 \times 3$ 矩阵来压缩状态转移信息，通过矩阵快速幂高效处理大规模深度。

算法详解

数据结构设计

struct Mat {
    int a[3][3];  // 状态转移矩阵
    // 状态含义：
    // [0]: 某种计数相关状态
    // [1]: 有效路径计数
    // [2]: 基准值（通常为1）
};

struct Vec {
    int a[3];     // 状态向量
};

主要步骤

步骤1：寻找稳定状态

for (long long dep = 1, A = 1, B = 1;; dep++) {
    // 计算当前深度的灯座编号范围 [A, B]
    // 检查是否出现完整的k周期
    if (出现完整周期) {
        stdep = dep;  // 记录稳定开始的深度
        break;
    }
    // 计算下一层的范围
}

这个循环用于确定从哪个深度开始，灯座类型的分布进入稳定的周期性模式。

步骤2：构建转移矩阵

对于每个深度，根据当前层的类型范围 [L, R] 构建转移矩阵：

Mat nw;
nw.a[0][0] = (k + 1) / 2;  // 与类型分布相关的系数
nw.a[1][1] = 1;            // 保持原有计数
nw.a[2][2] = 1;            // 保持基准值
// ... 其他复杂的系数计算

步骤3：检测循环节

if (d[nL] != 0 && d[nL] > stdep + 10 && ex[nL] > 1) {
    // 找到循环节
    int clen = dep - d[nL];  // 循环节长度
    // 保存循环节内的转移矩阵
}

步骤4：处理查询

对于每个查询序列，检查其合法性并计算答案：

// 检查左右连续性
for (int i = 0; i < d; i++) {
    if (!i) okl[i] = 1;
    else okl[i] = son(a[i], a[i-1]) & okl[i-1];
}

// 计算每个可能中心点的贡献
for (int i = 0; i < d; i++) {
    if (位置i合法) {
        int len = max(i+1, d-i);  // 所需最小深度
        if (p - len + 1 >= 1) {
            ans = (ans + calc(p - len + 1, a[i])) % P;
        }
    }
}

关键函数解析

son 函数：检查连接关系

auto son = [&](auto x, auto y) {
    int L = (1ll * x * (x-1)/2 + 1) % k + 1;
    if (L + x - 1 <= k)
        return y >= L && y <= L + x - 1;
    else
        return y >= L || y <= L + x - 1 - k;
};

这个函数判断类型为 x 的灯座是否能连接到类型为 y 的灯座。计算基于：

• 类型 x 的灯座连接的类型范围是循环的
• 需要处理跨周期的边界情况

calc 函数：计算路径数量

auto calc = [&](int d, int x) {
    // 使用矩阵快速幂计算深度d时类型x的灯座数量
    if (d <= trans.size()) {
        // 直接使用预计算的转移矩阵
    } else {
        // 使用循环节和快速幂
        tmp = tmp * trans.back();
        d -= trans.size();
        int t = d / ctrans.size();
        // 矩阵快速幂
        for (int i = 30; i >= 0; i--)
            if (t >> i & 1)
                tmp = tmp * pw[i];
        // 处理剩余部分
    }
};

复杂度分析

• 预处理：$O(k)$ 寻找循环节（实际远小于 $k$）
• 矩阵运算：$O(1)$ 的矩阵乘法（固定 $3 \times 3$）
• 查询处理：$O(S + q \log p)$，其中 $S$ 是所有查询序列长度之和

学习要点

1. 周期性利用：在无限结构中寻找循环节是常见技巧
2. 矩阵压缩：用固定大小的矩阵表示复杂的状态转移
3. 快速幂优化：处理指数级深度的标准方法
4. 边界处理：仔细处理循环结构的边界情况

代码优化建议

1. 内存优化：使用 unordered_map 替代大数组存储稀疏数据
2. 预计算：预先计算常用的数学结果
3. 循环展开：手动展开小的固定循环

这个解法通过发现状态转移的矩阵表示和循环节性质，将无限的吊灯结构转化为有限的数学问题，是处理无限结构的经典范例。