题目分析

本题要求设计一个 $n \times n$ 的棋盘（$n \leq 100$），使得从左上角 $(1,1)$ 到右下角 $(n,n)$ 的路径数恰好为 $K$。路径只能向右或向下移动，且只能通过未被封锁的格子（用 '.' 表示），被封锁的格子（用 '#' 表示）不能通过。

算法思路

核心思想：十进制分解构造法

该解法的核心思路是将目标数 $K$ 按十进制分解，每一位数字对应棋盘中的一个模块，通过组合这些模块的路径数来构造出恰好为 $K$ 的总路径数。

构造方法

1.初始化：创建一个 $100 \times 100$ 的棋盘，初始所有格子都被封锁（'#'），然后将每一行的最后一列设置为开放（'.'）。

2.逐位处理：从低位到高位处理 $K$ 的每一位数字：

• 对于每一位数字 $w$（$0 \leq w \leq 9$），在棋盘的特定位置创建一个 $3 \times 4$ 的模块

• 如果 $w > 0$，则通过开放特定行和列来精确控制该模块贡献的路径数

• 每个模块的路径数贡献为 $w \times 10^d$，其中 $d$ 是该位的位置

3.最高位处理：对于最高位数字，使用棋盘的最后两行进行特殊构造，确保路径数精确匹配

关键技巧

• 路径数放大：通过模块间的连接方式，每个高位模块的路径数会被放大10倍

• 精确控制：通过开放特定行和列的格子，精确控制每个模块的路径数贡献

• 模块化设计：每个 $3 \times 4$ 的模块独立处理一位数字，简化了构造过程

代码实现解析

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;

int n;
LL k;
char s[105][105];

int main() {
    cin >> k;
    n = 100;
    
    // 初始化棋盘
    for(int i = 1; i <= n; i++)
        for(int j = 1; j <= n; j++)
            s[i][j] = '#';
    
    // 开放每一行的最后一列
    for(int i = 1; i <= n; i++)
        s[i][n] = '.';
    
    int x = 1, y = 1; // 当前模块起始位置
    
    // 处理K的每一位（从低位到高位）
    while(k >= 10) {
        int w = k % 10; // 当前位数字
        k /= 10;
        
        // 创建3x4模块
        for(int i = x; i <= x + 2; i++)
            for(int j = y; j <= y + 3; j++)
                s[i][j] = '.';
        
        // 根据当前位数字调整路径数
        if(w > 0) {
            // 开放当前行的右侧所有列
            for(int j = y; j <= n; j++)
                s[x][j] = '.';
            // 开放下一行的最后w列
            for(int j = n - w + 1; j <= n; j++)
                s[x + 1][j] = '.';
        }
        
        // 移动到下一个模块位置
        s[x + 3][y + 3] = '.';
        x += 3;
        y += 3;
    }
    
    // 处理最高位
    if(k > 0) {
        // 开放当前列的下方所有行
        for(int i = x; i <= n - 1; i++)
            s[i][y] = '.';
        // 开放倒数第二行的右侧所有列
        for(int j = y; j <= n; j++)
            s[n - 1][j] = '.';
        // 开放最后一行的最后k列
        for(int j = n - k + 1; j <= n; j++)
            s[n][j] = '.';
    }
    
    // 输出结果
    cout << n << "\n";
    for(int i = 1; i <= n; i++) {
        for(int j = 1; j <= n; j++)
            cout << s[i][j];
        cout << "\n";
    }
    
    return 0;
}

算法复杂度

• 时间复杂度：$O(n^2)$，其中 $n=100$，是固定的

• 空间复杂度：$O(n^2)$，用于存储棋盘状态

算法标签

• 构造 (Construction)

• 组合数学 (Combinatorics)

• 动态规划思想 (Dynamic Programming Concept)

样例分析

对于输入 $K=6$，程序会构造一个 $100 \times 100$ 的棋盘，其中通过精确的格子开放控制，使得从 $(1,1)$ 到 $(100,100)$ 的路径数恰好为 6。

总结

这种构造方法的巧妙之处在于将复杂的路径计数问题转化为十进制数的位分解问题，通过模块化的设计使得每个数字位独立可控，最终组合出目标路径数。这种方法能够处理高达 $10^{18}$ 的大数，且保证棋盘尺寸不超过 $100 \times 100$。