题目分析

问题概述

我们有一个包含 $N+1$ 个行星的树结构，地球编号为 $N$。需要从地球出发访问 $K$ 个起源行星，访问路径上的所有行星构成集合 $S$。题目要求处理两种查询：

1. 查询集合 $S$ 的大小
2. 对于给定的 $x \in S, d, r$，求距离 $x$ 为 $d$ 的所有行星中按人口数排序的第 $r$ 小的行星

关键观察

1. 树结构性质：$N$ 条边连接 $N+1$ 个节点，构成一棵树
2. 集合 $S$ 的构成：$S$ 是从地球到所有起源行星的简单路径的并集
3. 距离计算：在树中，两点距离 = 深度[u] + 深度[v] - 2 × 深度[LCA(u,v)]

解法思路

方法：LCA预处理 + 路径标记 + 距离分类

步骤1：预处理LCA信息

使用DFS和二进制提升法预处理每个节点的父节点信息，用于快速计算LCA和距离。

步骤2：确定集合S

从地球出发，标记到每个起源行星路径上的所有节点：

• 使用LCA找到路径
• 标记路径上的所有节点

步骤3：处理查询

• 类型1：直接输出集合S的大小
• 类型2：对于每个查询，需要高效找到距离x为d的所有行星并按人口排序

高效实现

核心算法

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int MAXN = 100005;
const int LOG = 17;

int n, k, q;
vector<int> adj[MAXN];
int population[MAXN];
vector<int> origins;
bool inS[MAXN];
int szS = 0;

// LCA相关
int depth[MAXN];
int parent[MAXN][LOG];

void dfs(int u, int p, int d) {
    depth[u] = d;
    parent[u][0] = p;
    for (int i = 1; i < LOG; i++) {
        if (parent[u][i-1] != -1) {
            parent[u][i] = parent[parent[u][i-1]][i-1];
        }
    }
    
    for (int v : adj[u]) {
        if (v != p) {
            dfs(v, u, d + 1);
        }
    }
}

int lca(int u, int v) {
    if (depth[u] < depth[v]) swap(u, v);
    
    // u提升到与v同一深度
    for (int i = LOG - 1; i >= 0; i--) {
        if (depth[u] - (1 << i) >= depth[v]) {
            u = parent[u][i];
        }
    }
    
    if (u == v) return u;
    
    // 同时提升
    for (int i = LOG - 1; i >= 0; i--) {
        if (parent[u][i] != parent[v][i]) {
            u = parent[u][i];
            v = parent[v][i];
        }
    }
    return parent[u][0];
}

int distance(int u, int v) {
    return depth[u] + depth[v] - 2 * depth[lca(u, v)];
}

void markPath(int u, int v) {
    int l = lca(u, v);
    
    // 标记u到lca的路径
    int cur = u;
    while (cur != l) {
        if (!inS[cur]) {
            inS[cur] = true;
            szS++;
        }
        cur = parent[cur][0];
    }
    
    // 标记v到lca的路径
    cur = v;
    while (cur != l) {
        if (!inS[cur]) {
            inS[cur] = true;
            szS++;
        }
        cur = parent[cur][0];
    }
    
    // 标记lca
    if (!inS[l]) {
        inS[l] = true;
        szS++;
    }
}

查询处理优化

对于类型2查询，直接计算会超时，需要预处理：

// 为每个可能的距离预先计算行星列表
vector<vector<int>> planetsByDist[MAXN];

void precomputeDistances() {
    for (int i = 0; i <= n; i++) {
        planetsByDist[i].resize(MAXN);
    }
    
    // 对每对节点计算距离并分类
    for (int i = 0; i <= n; i++) {
        for (int j = i; j <= n; j++) {
            int dist = distance(i, j);
            if (dist < MAXN) {
                planetsByDist[i][dist].push_back(j);
                if (i != j) {
                    planetsByDist[j][dist].push_back(i);
                }
            }
        }
    }
    
    // 对每个距离列表按人口排序
    for (int i = 0; i <= n; i++) {
        for (int dist = 0; dist < MAXN; dist++) {
            if (!planetsByDist[i][dist].empty()) {
                sort(planetsByDist[i][dist].begin(), 
                     planetsByDist[i][dist].end(),
                     [&](int a, int b) {
                         return population[a] < population[b];
                     });
            }
        }
    }
}

主程序

int main() {
    ios_base::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(NULL);
    
    cin >> n >> k >> q;
    
    // 读入数据
    for (int i = 0; i <= n; i++) {
        cin >> population[i];
    }
    
    origins.resize(k);
    for (int i = 0; i < k; i++) {
        cin >> origins[i];
    }
    
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        int u, v;
        cin >> u >> v;
        adj[u].push_back(v);
        adj[v].push_back(u);
    }
    
    // 初始化
    memset(parent, -1, sizeof(parent));
    
    // 预处理LCA
    dfs(n, -1, 0);
    
    // 标记集合S
    inS[n] = true;
    szS = 1;
    for (int origin : origins) {
        markPath(n, origin);
    }
    
    // 预处理距离信息
    precomputeDistances();
    
    // 处理查询
    while (q--) {
        int type;
        cin >> type;
        
        if (type == 1) {
            cout << szS << "\n";
        } else {
            int x, d, r;
            cin >> x >> d >> r;
            cout << planetsByDist[x][d][r - 1] << "\n";
        }
    }
    
    return 0;
}

空间优化版本

对于大数据，上述方法空间开销太大。可以采用按需计算的策略：

// 按需计算距离查询
int queryType2(int x, int d, int r) {
    vector<int> candidates;
    
    // 使用BFS收集距离x为d的所有节点
    queue<pair<int, int>> q;
    vector<bool> visited(n + 1, false);
    q.push({x, 0});
    visited[x] = true;
    
    while (!q.empty()) {
        auto [node, dist] = q.front();
        q.pop();
        
        if (dist == d) {
            candidates.push_back(node);
            continue;
        }
        
        if (dist > d) continue;
        
        for (int neighbor : adj[node]) {
            if (!visited[neighbor]) {
                visited[neighbor] = true;
                q.push({neighbor, dist + 1});
            }
        }
    }
    
    // 按人口排序
    sort(candidates.begin(), candidates.end(),
        [&](int a, int b) {
            return population[a] < population[b];
        });
    
    return candidates[r - 1];
}

复杂度分析

方法1：完全预处理

• 时间复杂度：
  • 预处理：$O(n^2 \log n)$（距离计算）
  • 查询：$O(1)$
• 空间复杂度：$O(n^2)$
• 适用性：适合 $n \leq 2000$ 的情况

方法2：按需计算

• 时间复杂度：
  • 预处理：$O(n \log n)$（仅LCA）
  • 查询：$O(n + d_{max} \times \text{度数和} + n \log n)$
• 空间复杂度：$O(n)$
• 适用性：适合大数据，但查询较慢

方法3：平衡方案

对于 $n \leq 10^5$，可以：

1. 预处理所有节点到地球的距离
2. 对于查询，利用树的性质和LCA快速计算距离
3. 使用哈希表缓存常见查询

算法总结

1. LCA预处理：使用二进制提升法，支持 $O(\log n)$ 的LCA查询
2. 路径标记：通过LCA找到路径并标记访问节点
3. 距离查询优化：
   • 小数据：完全预处理
   • 大数据：按需BFS + 排序
4. 排序策略：按人口数排序，使用自定义比较函数

关键技巧

1. 二进制提升：高效计算LCA
2. 路径分解：将路径分解为u→LCA和v→LCA两部分
3. 距离性质：在树中，距离满足三角不等式
4. 查询优化：根据数据规模选择合适的预处理策略

这道题综合考察了树的基本操作、LCA算法、路径处理和查询优化，是一道很好的综合性树问题。