问题理解

我们有一个排列 ( p[0], p[1], \dots, p[n-1] )，它是 ( 0 ) 到 ( n-1 ) 的一个排列。
我们只能选择一些行星来加速，并且选择的行星对应的轨道速度必须严格递增。
也就是说，选择的索引集合 ( i_1 < i_2 < \dots < i_m ) 必须满足 ( p[i_1] < p[i_2] < \dots < p[i_m] )。
这就是排列的递增子序列（不要求连续）。

题目要求：
给定 ( k )，构造一个长度 ( n ) 尽量小的排列，使得它的递增子序列个数恰好等于 ( k )。

关键思路

1. 空子序列

递增子序列包括空序列，所以如果排列的递增子序列总数为 ( k )，那么非空子序列数是 ( k-1 )。
但题目中给的 ( k ) 是包含空序列的（从样例可以看出：( k=3 ) 时，子序列有 [], [0], [1] 共 3 个）。

2. 已知结论

一个常见的构造方法是利用二进制分解或斐波那契分解来构造排列，使得递增子序列数恰好为 ( k )。

一种简单的方法：

• 考虑在排列末尾添加一个比之前所有数都大的数，那么递增子序列数会翻倍（因为所有原来的子序列都可以加上这个新数，形成新的递增子序列）。
• 考虑在排列末尾添加一个比之前所有数都小的数（比如 0），那么递增子序列数会加 1（因为只有这个新数单独作为一个子序列，以及空序列加上它）。

3. 构造方法（二进制法）

假设 ( k ) 的二进制表示是 ( 1b_{m-1}b_{m-2}\dots b_1 )（最高位是 1）。
我们从空排列开始，递增子序列数初始为 1（空序列）。

从左到右处理二进制位（从最高位之后的位开始）：

• 如果当前位是 1：先执行“翻倍”操作（加一个最大数），再执行“加 1”操作（加一个最小数）。
• 如果当前位是 0：只执行“翻倍”操作。

这样，每个 1 对应“×2+1”，每个 0 对应“×2”。

例子：
( k = 6 )（二进制 110）

• 初始：[]，子序列数 = 1（空序列）
• 二进制 110，从第二位开始：
  • 第二位 1：翻倍（加最大数 0） → [0]，子序列数=2；再加 1（加最小数 1 到前面） → [1,0]，子序列数=3。
  • 第三位 0：翻倍（加最大数 2） → [1,0,2]，子序列数=6。

检查 [1,0,2] 的递增子序列：

• 空 []
• [1]
• [0]
• [2]
• [0,2]
• [1,2] 共 6 个，正确。

4. 更优的构造（使用最长递增子序列 LIS 计数技巧）

实际上，更优的方法是使用一种排列，它的递增子序列数可以表示为 2 的幂次乘积。
例如：

• 排列 [0]：子序列数 = 2（[], [0]）
• 排列 [0,1]：子序列数 = 4（[], [0], [1], [0,1]）
• 排列 [1,0]：子序列数 = 3（[], [0], [1]）

我们可以把 k 分解成 ( k = 2^{a_1} + 2^{a_2} + \dots ) 的形式，然后构造对应块。

块构造法：

• 一个长度为 ( m ) 的递增序列（如 0,1,...,m-1）的递增子序列数是 ( 2^m )（每个元素选或不选）。
• 一个长度为 ( m ) 的递减序列（如 m-1, m-2, ..., 0）的递增子序列数是 ( m+1 )（只能选一个元素或空序列）。
• 我们可以把 k 写成二进制，每一位对应一个块，块之间用“隔断”方式保证不跨块形成新的递增子序列。

具体做法：

• 将 k 写成二进制，设最高位是 ( 2^m )。
• 构造一个 0,1,...,m-1 作为第一个块（子序列数 ( 2^m )）。
• 对剩下的位数（从高到低），如果某位为 1，就加一个递减序列块，长度等于该位代表的幂次，并确保这个块的所有数大于之前所有数，这样不会和前面形成跨块递增子序列，但块内部贡献 ( \text{长度}+1 ) 的子序列数。
• 最后排列的总递增子序列数就是各块贡献的乘积，等于 k。

5. 长度优化

这种方法得到的长度大约是 ( O(\log k) ) 级别，通常很短，满足题目要求。

总结

题解的核心是：

1. 理解排列的递增子序列计数规律。
2. 利用二进制分解，将 k 拆成若干 2 的幂次组合。
3. 用递增块（贡献 2 的幂）和递减块（贡献幂次+1）拼接构造。
4. 确保块之间数字大小关系，避免跨块产生额外递增子序列。

这样就能在 ( n \le 120 ) 内构造出符合要求的排列，满足题目约束。