划分 题解

题目分析

这道题要求将数组划分为若干段，使得每段的和递增，并且最小化各段和的平方和。

关键约束：

• 段内元素连续
• 段和必须单调非递减
• 目标是最小化各段和的平方和

解题思路

核心观察

1. 贪心性质：为了让平方和最小，应该让段尽可能均匀
2. 单调队列：使用单调队列优化动态规划
3. 决策单调性：最优决策点具有单调性

算法设计

代码采用了单调队列优化DP的方法：

主要步骤：

1. 前缀和预处理：计算前缀和数组
2. 单调队列维护：维护可能的最优决策点
3. 二分查找：快速找到最优决策点
4. 高精度计算：使用__int128存储结果

代码详解

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;

const int N = 40000005;
int n, t, tl, tr;
int a[N];          // 前缀和数组
signed la[N], stk[N];  // la: 决策点，stk: 单调队列

namespace IN {
    int x, y, z, b1, b2, id, p, l, r;
    
    // 初始化生成器参数
    inline void pre() {
        cin >> x >> y >> z >> b1 >> b2 >> p >> p >> l >> r;
    }
    
    // 生成下一个a_i
    inline int gt() {
        if (!t) {  // type=0，直接输入
            cin >> x;
            return x;
        }
        
        // type=1，使用生成器
        if (++id > p) 
            cin >> p >> l >> r;
            
        int c = b1 % (r - l + 1) + l;
        int b3 = (b1 * y + b2 * x + z) & ((1 << 30) - 1);
        b1 = b2;
        b2 = b3;
        return c;
    }
}

// 输出__int128
void pr(__int128 x) {
    if (x >= 10) pr(x / 10);
    cout << (char)(x % 10 + '0');
}

// 计算斜率：2*a[x] - a[la[x]]
inline int gt(int x) {
    return a[x] * 2 - a[la[x]];
}

// 二分查找最优决策点
inline int gtl(int x) {
    int l = tl, r = tr - 1;
    while (l < r) {
        int m = (l + r + 1) >> 1;
        if (gt(stk[m]) <= x) l = m;
        else r = m - 1;
    }
    return stk[l];
}

void run() {
    cin >> n >> t;
    
    if (t) IN::pre();  // 初始化生成器
    
    tr = 1;  // 队列尾指针
    int x = 0;  // 当前前缀和
    
    // 动态规划过程
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        a[i] = (x += IN::gt());  // 计算前缀和
        
        // 维护队列头部：删除不满足条件的决策点
        while (tl + 1 < tr && gt(stk[tl + 1]) <= x)
            tl++;
            
        // 找到当前最优决策点
        int c = la[i] = gtl(x);
        int y = x * 2 - a[c];  // 计算斜率
        
        // 维护队列尾部：保持单调性
        while (tr > tl && gt(stk[tr - 1]) >= y)
            tr--;
            
        stk[tr++] = i;  // 加入新决策点
    }
    
    // 计算最终答案
    __int128 ans = 0;
    x = n;
    while (x) {
        int y = la[x];
        ans += ((__int128)a[x] - a[y]) * (a[x] - a[y]);
        x = y;
    }
    
    pr(ans);
}

signed main() {
    ios::sync_with_stdio(0);
    cin.tie(0);
    cout.tie(0);
    int T = 1;
    while (T--) run();
    return 0;
}

算法原理详解

1. 问题建模

设 a[i] 为前缀和，f[i] 为前i个元素的最小平方和，la[i] 记录最优决策点。

状态转移：

f[i] = min_{j} { f[j] + (a[i]-a[j])² }
约束条件：a[i]-a[j] ≥ a[j]-a[la[j]]

2. 斜率优化

将约束条件改写为：

a[i] ≥ 2a[j] - a[la[j]]

定义斜率 g(j) = 2a[j] - a[la[j]]，则决策点j对i有效当且仅当 g(j) ≤ a[i]。

3. 单调队列维护

• 队列头部：删除 g(stk[tl+1]) ≤ a[i] 的点，因为它们对后续决策不再重要
• 队列尾部：维护 g(stk) 的单调递增性，保证决策最优性

4. 二分查找

使用二分在单调队列中找到满足 g(j) ≤ a[i] 的最大j，即为当前最优决策点。

复杂度分析

• 时间复杂度：O(n)，每个元素入队出队一次
• 空间复杂度：O(n)，存储前缀和和队列

样例解析

样例1：

5 0
5 1 7 9 9

前缀和：5, 6, 13, 22, 31

最优划分：

• 段1: 5+1=6
• 段2: 7
• 段3: 9
• 段4: 9

平方和：6² + 7² + 9² + 9² = 36 + 49 + 81 + 81 = 247

关键技巧

1. 斜率优化：将约束条件转化为斜率比较
2. 单调队列：高效维护可能的最优决策点
3. 二分查找：快速定位最优决策
4. 高精度处理：使用__int128避免溢出
5. 数据生成优化：支持大规模数据输入

总结

这道题的解题亮点：

1. 问题转化：将划分问题转化为斜率优化DP
2. 高效算法：O(n)时间解决大规模问题
3. 单调性利用：充分利用决策单调性优化
4. 工程实现：处理了大数据生成和高精度计算

算法通过深入的数学分析和巧妙的数据结构设计，在O(n)时间内解决了这个复杂的优化问题，展示了处理大规模动态规划问题的高级技巧。