解题思路

要解决这个问题，我们需要找到每个正整数 $x$ 能分解出的最大立方因子的立方根（即最大的整数 $a$，使得 $a^3$ 是 $x$ 的因子）。核心思路基于质因数分解和立方因子提取。

关键思路

任何正整数 $x$ 都可分解为质因数的幂次乘积：

$$x = p_1^{k_1} \times p_2^{k_2} \times \dots \times p_n^{k_n} $$

其中 $p_i$ 是质因数，$k_i$ 是对应指数。

对于每个质因数 $p_i$，其指数 $k_i$ 可拆分为 $3 \times m_i + r_i$（$r_i \in \{0,1,2\}$ 是余数）。此时，能提取的最大立方因子为 $p_i^{3m_i} = (p_i^{m_i})^3$。将所有质因数的 $p_i^{m_i}$ 相乘，得到的结果就是最大的 $a$（即 $a = \prod p_i^{m_i}$）。

具体步骤

1. 质因数分解：对每个 $x$ 进行质因数分解，得到所有质因数及其指数。

   • 从最小的质数 $2$ 开始，到 $\sqrt{x}$ 遍历，统计每个能整除 $x$ 的质数的指数。
   • 若遍历后 $x$ 仍大于 $1$，说明剩余的 $x$ 本身是一个大质因数。

2. 提取立方因子：对每个质因数的指数 $k$，计算 $m = k // 3$（即能提取的立方次数）。

3. 计算最大 $a$：将所有质因数的 $p^m$ 相乘，得到最终的 $a$。

示例验证

• 对于 $x = 125$，质因数分解为 $5^3$，$3 // 3 = 1$，故 $a = 5^1 = 5$。
• 对于 $x = 81$，质因数分解为 $3^4$，$4 // 3 = 1$，故 $a = 3^1 = 3$。
• 对于 $x = 52$，质因数分解为 $2^2 \times 13^1$，$2 // 3 = 0$，$1 // 3 = 0$，故 $a = 2^0 \times 13^0 = 1$。

这种方法通过质因数分解与立方因子的提取，确保了 $a$ 是能从 $x$ 中分解出的最大立方根。