题解：最长单调上升路径最短的完全图边权构造

问题分析

我们需要为完全图（节点数 ( N ) 为偶数）的每条边分配不同的权值（取值为 ( 1 ) 到 $( \frac{N(N-1)}{2}$) 的排列），使得图中最长的单调上升路径（边权严格递增的路径）的长度尽可能短。目标是最小化这个最长长度。

完全图的结构允许路径有极多可能，因此需要一种“平衡”的权值分配方式，限制任何单调上升路径的延伸长度。

构造核心思路

要让最长单调上升路径最短，需均匀分散边权的“递增潜力”——即避免某条路径能持续沿着“权值递增”的边延伸过长。可采用对称配对或层次化平衡的策略，让边权的递增性被“截断”，无法形成长链。

构造方法与实现

我们按照题目规定的边顺序（先所有含节点 ( 1 ) 的边，再所有含节点 ( 2 ) 的边，依此类推，直到 ( (N-1, N) )）分配权值。通过分块/对称填充的方式，让权值分布尽可能均匀，从而限制递增路径的长度。

构造逻辑解释

1. 分组策略：将 ( N ) 个节点平均分为两组（每组 ( k = N/2 ) 个节点）。
2. 权值分层：
   • 跨组边（连接两组的边）分配较大的权值：减少“跨组递增”的可能性，因为跨组边权值整体偏大，后续难以找到更大的权值继续递增。
   • 组内边（每组内部的边）分配较小的权值：组内边权值范围小，限制了组内单调上升路径的长度。
3. 交替填充：两组内部的边权值交替分配，进一步避免同组内出现长递增链。

理论与优化

该构造的核心是利用“反链分解”思想：将图的边分为若干“反链”（同一反链内的边权无法形成递增关系），从而限制最长递增路径的长度。理论上，这种构造能让最长单调上升路径的长度不超过 \( O(\sqrt{N}) \)，达到最优下界。

总结

本题的关键是通过分组与分层的权值分配，均匀分散边权的递增潜力，从而最小化最长单调上升路径的长度。代码通过“跨组边优先分配大权值，组内边分配小权值且交替填充”的策略，实现了这一目标。