题目分析

这个问题要求我们通过最多 $m$ 次减一操作，在必须有一个位置变为 $0$ 的条件下，最小化相邻元素差的最大值 $z$。

算法思路

核心思想：二分答案 + 贪心调整

1. 二分答案：二分查找最小的 $z$ 值
2. 可行性检查：对于每个候选的 $z$，检查是否存在一个位置 $k$ 可以变为 $0$，且总操作次数不超过 $m$

关键步骤

1. 二分框架

int l = 0, r = 1e9 + 7, ans;
while(l < r){
    int mid = l + r >> 1;
    if(check(mid)){
        r = mid;
        ans = check(mid);
    } else {
        l = mid + 1;
    }
}

2. 可行性检查 check(p)

• 步骤1：从左到右调整数组，确保 $b[i] \leq b[i-1] + p$
• 步骤2：从右到左调整数组，确保 $b[i] \leq b[i+1] + p$
• 步骤3：计算总操作次数 $w = \sum (a[i] - b[i])$
• 步骤4：对于每个位置 $i$，检查能否将其设为 $0$ 点

3. 寻找最优的 $k$

对于每个候选位置 $i$：

• 找到受影响的区间 $[l, r]$
• 计算将该区间调整为以 $i$ 为 $0$ 的"V"形所需的额外操作数
• 检查总操作数是否 $\leq m$

时间复杂度

• 二分：$O(\log \text{MAX})$，其中 MAX 是值域
• 可行性检查：$O(n)$
• 总复杂度：$O(n \log \text{MAX})$

代码亮点

1. 双向调整：先从左到右，再从右到左，确保相邻差 $\leq z$
2. V形计算：利用等差数列公式快速计算以某个位置为谷底的操作次数
3. 滑动窗口：使用双指针 $l, r$ 快速确定受影响区间
4. 前缀和优化：$s[i]$ 数组加速区间和计算

样例解析

对于样例：

16 15
8 7 6 5 5 5 5 5 6 6 7 8 9 7 5 5

当 $z=2$ 时，选择 $k=1$（第一个位置为0）可以在15次操作内满足条件。

这个解法充分利用了二分答案的框架，结合贪心调整和数学计算，在 $n$ 达到 $10^6$ 时仍能高效运行。