一、题意

给定长度为 $n$ 的数组 $a$、操作次数 $k$。 共执行 $k$ 轮操作： 每一轮对每个位置 $i$： 把 $a_i$ 替换为删掉 $a_i$ 后剩下所有元素的 $\text{mex}$，所有元素同时更新。

$\text{mex}$ 定义：集合中最小的非负未出现整数。

数据范围： $1\le t\le 10^4,\ 2\le n\le 2\cdot 10^5,\ 1\le k\le 10^9$ $\sum n\le 2\cdot 10^5$

求 $k$ 次操作后数组所有元素的和。

二、核心观察

1. $k$ 最大到 $10^9$，不能暴力模拟 $k$ 轮；
2. 数组变换只会出现两种情况：
   • 很快进入稳定态：数组不再变化；
   • 进入二元周期：在两个状态来回切换；
3. 一旦出现周期，剩余操作次数只看奇偶性：$k \mathrel{\&}=1$ 即可。

三、每轮变换原理

设当前数组为 $a$：

1. 统计每个数出现频率 $F[x]$；
2. 求全局 $\text{mex}$：

3. 构造新数组 $B$：
   • 若当前数值 $x$ 出现次数 $F[x]>1$： 删掉一个不影响整体集合，去掉自身后的 $\text{mex}$ 仍等于全局 $\text{mex}$；
   • 若 $F[x]=1$： 删掉 $x$ 后最小值会上移，用 $mm$ 从小到大依次赋值；
4. 新数组排序，作为下一轮初始数组。

四、带注释 C++ 完整标程

#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>
using namespace std;

typedef long long ll;

int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);
    
    int t;
    cin >> t;
    while (t--)
    {
        int n, k;
        cin >> n >> k;
        vector<int> a(n);
        for (int i = 0; i < n; ++i)
            cin >> a[i];
        
        vector<int> l, sl;   // l:上一轮数组  sl:上上轮数组
        bool first = true;

        // 还有操作次数 且 数组未稳定
        while (k > 0 && (first || l != a))
        {
            first = false;
            k--;
            sl = l;     // 保存上上轮
            l = a;      // 保存上一轮

            // 1. 统计频率
            vector<int> F(n + 2, 0);
            for (int x : a) F[x]++;

            // 2. 求全局 mex
            int mex = 0;
            while (F[mex]) mex++;

            // 3. 构造新数组 B
            vector<int> B;
            int mm = 0;
            for (int x : a)
            {
                if (F[x] > 1)
                    B.push_back(mex);
                else
                {
                    B.push_back(mm);
                    if (x == mm) mm++;
                }
            }

            // 4. 排序进入下一轮
            sort(B.begin(), B.end());
            a.swap(B);

            // 发现二元周期，剩余次数只看奇偶
            if (a == sl)
                k &= 1;
        }

        // 计算数组和
        ll sum = 0;
        for (int x : a) sum += x;
        cout << sum << '\n';
    }
    return 0;
}

五、算法复杂度

每轮：频率统计 $O(n)$ + 求 $\text{mex}$ $O(n)$ + 构造新数组 $O(n)$ + 排序 $O(n\log n)$。 数组最多变换常数轮就进入稳态/周期， 总复杂度：$O(\sum n\log n)$，完全满足题目数据限制。

六、关键代码关键点

1. ios::sync_with_stdio(false); cin.tie(nullptr); 快读，适配大数据；
2. 用 l, sl 保存前两轮状态，判周期；
3. 遇到周期直接 k &= 1，跳过巨量无效模拟；
4. 严格复刻原题构造新数组的规则，保证和样例输出一致。

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