我们仔细分析一下这道题。

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题意理解

已知原来有一个长度为 $2n+1$ 的数组 $a$，满足：

1. 所有元素两两不同。
2. $a_1 = a_2 - a_3 + a_4 - a_5 + \dots + a_{2n} - a_{2n+1}$。
3. 所有 $a_i$ 是正整数 $\le 10^{18}$。

现在有人删掉 $a$ 中的某一个元素（下标未知），然后把剩下的 $2n$ 个元素打乱成 $b$。

我们需要恢复出 $a$ 的一个可能序列。

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分析

把原来的等式写成：

$$a_1 + a_3 + a_5 + \dots + a_{2n+1} = a_2 + a_4 + \dots + a_{2n} $$

记奇数位置的和为 $S_{\text{odd}}$，偶数位置的和为 $S_{\text{even}}$，那么有：

$$S_{\text{odd}} = S_{\text{even}}$$

并且 $a_1$ 既在奇数位置中，又出现在方程左边。

但已知的只有 $b$（缺少一个元素），不知道被删掉的是奇数位置还是偶数位置，也不知道是哪一个。

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关键观察

如果把 $a$ 全部元素加起来：

$$\text{sum}(a) = S_{\text{odd}} + S_{\text{even}} = 2 S_{\text{even}} $$

所以 原数组总和是偶数。而且 $S_{\text{even}} = \text{sum}(a)/2$。

另外，$S_{\text{even}}$ 的取值刚好是“所有偶数位置元素的和”，它是 $b$ 中一些元素加上可能的缺失元素的和。

因此：
如果我们假设缺失元素是 $x$，那么 $S_{\text{even}}$ 必须能表示为 $b$ 中某 $n$ 个元素（即偶数位置元素）的和。

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更具体地说：
设缺失的元素为 $x$，则 $b$ 包含的 $2n$ 个元素分成两类：

• 偶数位置的 $n$ 个元素（和为 $S_{\text{even}}$）
• 奇数位置的 $n+1$ 个元素去掉 $a_1$ 后剩下的 $n$ 个（和为 $S_{\text{odd}} - a_1$）

但是 $S_{\text{odd}} = S_{\text{even}}$，所以 $S_{\text{odd}} - a_1 = S_{\text{even}} - a_1$。

因此 $b$ 中的数可以分成两组，每组 $n$ 个，其中一组的和等于 $S_{\text{even}}$，另一组的和等于 $S_{\text{even}} - a_1$，并且 $a_1$ 是被删除的那个数，不在 $b$ 中。

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构造思路

1. 对 $b$ 排序。
2. 枚举被删除的数 $x$（应该是一个很大的数，因为 $a_1$ 在等式中可以很大，不是必须取 $b$ 中的数）。
3. 如果我们确定 $S_{\text{even}} = T$，那么 $T$ 必须是 $b$ 中某些元素的和（恰好 $n$ 个元素）。
4. 由于 $b$ 中每个数必须恰好属于一个组（奇数位置组或偶数位置组），且两组大小都是 $n$，所以 $T$ 一定等于 $(sum(b) + x) / 2$，因为 $sum(a) = sum(b) + x$，而 $sum(a) = 2 S_{\text{even}}$，所以 $S_{\text{even}} = (sum(b) + x)/2$。
5. 因此 $sum(b) + x$ 必须是偶数，且 $S_{\text{even}}$ 必须是整数。
6. $x$ 可以取任意不在 $b$ 中的值吗？需要满足 $T$ 能用 $b$ 中的 $n$ 个元素表示，且剩下的 $n$ 个元素和是 $T - a_1$，其中 $a_1$ 就是 $x$。

所以 $T - x = \text{剩下元素的和}$。

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算法步骤

已知：

• 设 $b$ 的总和 = $B$。
• 设缺失的元素为 $x$（未知）。
• 则 $S_{\text{even}} = (B + x) / 2$。
• $S_{\text{odd}} = S_{\text{even}}$。
• 奇数位置包含 $a_1 = x$，以及 $b$ 中某些元素，这些元素的和为 $S_{\text{even}} - x$。

我们需要从 $b$ 中选出 $n$ 个数，和为 $S_{\text{even}}$（偶数位置组），剩下 $n$ 个数和为 $S_{\text{even}} - x$（奇数位置组除了 $x$ 外的数）。

同时奇数位置组的 $n$ 个数可以随意排列（和 $b$ 剩下的部分一样）。

所以构造方法：

1. 令 $x$ 为某个数，使得 $S_{\text{even}} = (B + x)/2$ 是整数。
2. 检查能否从 $b$ 中找出 $n$ 个数和为 $S_{\text{even}}$。
3. 如果找到了，那么剩下的 $n$ 个数自动和为 $S_{\text{even}} - x$，这是奇数位置组（不含 $x$）。
4. 输出奇数位置组（任意顺序），中间插入 $x$ 作为 $a_1$，然后偶数位置组按任意顺序放在 $a_1$ 后面，形成 $a_2, a_3, \dots, a_{2n}$ 的任意顺序。

注意：奇数位置组（不含 $x$）有 $n$ 个元素，偶数位置组也有 $n$ 个元素。交替排列即可得到序列 $a$，其中 $a_1 = x$。

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如何找 $x$

有一个简单构造：
取 $x = \max(b) + 1$（或者任意大的数），这样 $S_{\text{even}} = (B + x)/2$ 很大，而 $b$ 中最大数 $\le 10^9$，所以 $S_{\text{even}}$ 很大，$S_{\text{even}}$ 不可能等于 $b$ 中任意 $n$ 个数的和（因为 $n$ 个数和最大 $n \cdot 10^9 < B/2 + x/2$ 如果 $x$ 太大），所以不好。

实际上我们需要 $S_{\text{even}}$ 是 $b$ 中 $n$ 个数的和，所以 $S_{\text{even}} \le n \cdot \max(b)$。
因此 $(B + x)/2 \le n \cdot \max(b)$
$\Rightarrow x \le 2n \max(b) - B$。

因为 $B \ge n \cdot \min(b)$，所以 $x$ 有一个上界，不一定要取大数。

但更简单的方法：
我们从 $b$ 中选 $n$ 个数作为偶数位置组，它们和 $T$ 确定，那么 $x = 2T - B$ 是被删除的数，需要 $x > 0$ 且 $x$ 不在 $b$ 中，并且 $x$ 可以很大（只要 $\le 10^{18}$）。

所以算法：

1. 对 $b$ 排序，设 $S$ 为 $b$ 总和。
2. 取最大的 $n$ 个数之和作为 $T$（这样 $T$ 很大，$x$ 很大，容易满足条件，且 $T$ 可以构造出来）。
3. 检查 $x = 2T - S$ 是否不在 $b$ 中且为正数。
4. 如果 $x$ 在 $b$ 中，尝试次大的 $n$ 个数和，直到找到可行解（因为 $b$ 里数互异，总会找到一个 $x$ 不在 $b$ 中）。

这样构造的 $a_1 = x$，奇数位置组：$b$ 中剩下的 $n$ 个数，偶数位置组：选出的 $n$ 个数。输出顺序：$x$，然后交错输出奇数位置组和偶数位置组（先输出偶数位置组的一个数，再输出奇数位置组的一个数，等等），这样奇偶位置的和满足要求。

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实现

我们可以简单取 $T = \text{最大的 } n \text{ 个数之和}$，设 $x = 2T - S$，如果 $x$ 不在 $b$ 中且 $x > 0$，则成功；否则，依次减小 $T$（比如把最大数换小一点），直到找到可行的 $x$。

由于 $n$ 不大（总和 $2\cdot 10^5$），可以用 multiset 或双指针找。

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示例验证

例1：
$b = [9, 2], n=1, S=11$
最大 $n=1$ 个数是 $9$，$T=9$，$x = 2\cdot 9 - 11 = 7$（不在 $b$ 中）
偶数位置组：$[9]$，奇数位置组：$[2]$
输出：$a = [7, 9, 2]$ 符合样例。

例2：
$b = [8, 6, 1, 4], n=2, S=19$
最大 $n=2$ 个数：$8+6=14$，$x=28-19=9$（不在 $b$ 中）
偶数位置组：$[8,6]$，奇数位置组：$[1,4]$
输出 $a=[9, 8, 1, 6, 4]$（交错） 符合样例。