一、先看懂题目规则（简化版）

我们有一个区间 $[1,n]$，递归执行：

1. 计算中点 $m=\lfloor\frac{l+r}{2}\rfloor$
2. 区间长度为奇数：把 $m$ 加入答案，再分裂成左右两个子区间
3. 区间长度为偶数：直接分裂成两个子区间
4. 长度 $<k$：停止递归

最终求所有被选中的中点之和。

二、标程背后的核心数学结论（最关键）

这道题的答案可以写成一个极其简洁的公式：

其中 $S$ 是一个二进制特征值，由 $n$ 在不断除以 2 的过程中是否为奇数决定。

标程的所有操作，都是在快速计算 $S$。

三、为什么公式成立？（规律推导）

1. 选中的数字有什么规律？

观察递归过程：

• 每次处理一个奇数长度区间，我们取它的中点
• 所有被选中的中点 $x$，满足一个优美性质：$$\boldsymbol{x + \text{对应对称点} = n+1}$$

比如样例 $n=7$：

• 选中 $4$，对称点 $4$，和为 $8=7+1$
• 选中 $2$，对称点 $6$，和为 $8=7+1$ 总和 $4+2+6 = (7+1) \times 3 \div 2 = 12$

这里的 $3$ 就是标程里的 $S$。

2. $S$ 是什么？

$S$ = 有多少个数字被选中。

四、标程如何快速计算 $S$？（位运算魔法）

标程核心循环（逐行解释）：

int mul = n + 1, sum = 0, cur = 1;
while (n >= k) {         // 只要长度 >=k 就继续分裂
    if (n & 1) sum += cur;// 如果 n 是奇数，计数 +cur
    n >>= 1;              // n = n / 2（向下取整）
    cur <<= 1;            // cur = cur * 2
}

逐行翻译

1. n & 1：判断 $n$ 是否为奇数
   • 是奇数 → 这个区间会选中一个中点 → sum += cur
2. n >>= 1：等价于 $n = \lfloor n/2 \rfloor$（模拟区间分裂）
3. cur <<= 1：等价于 $cur \times 2$（统计每一层的节点数量）

一句话总结： 这个循环在统计：从原长 $n$ 不断折半，所有 $\ge k$ 且长度为奇数的层数，就是 $S$。

五、完整计算流程（样例演示）

样例 1：$n=7,\ k=2$

mul = 7+1 = 8
sum = 0, cur=1
n=7 >=2：7是奇数 → sum=1
n=3, cur=2
n=3 >=2：3是奇数 → sum=1+2=3
n=1, cur=4 → 退出循环
ans = 8 * 3 / 2 = 12

和样例输出完全一致！

六、标程完整代码注释版

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long  // 必须开 long long，数据极大
using namespace std;

signed main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);
    
    int T;
    cin >> T;
    while (T--) {
        int n, k;
        cin >> n >> k;
        
        int mul = n + 1;   // 对称和：x + 对称点 = n+1
        int sum = 0;       // S：被选中的中点数量
        int cur = 1;       // 每层的权重（1,2,4,8...）
        
        // 模拟区间不断折半
        while (n >= k) {
            if (n & 1) {   // 如果当前长度是奇数，会选中一个中点
                sum += cur;
            }
            n >>= 1;       // 长度除以 2
            cur <<= 1;     // 权重乘以 2
        }
        
        // 核心公式
        cout << mul * sum / 2 << '\n';
    }
    return 0;
}

七、算法复杂度（完美适配数据范围）

• 每次循环 $n$ 除以 $2$，最多循环 $\log_2(2\times10^9) \approx 31$ 次
• 每组用例 $O(\log n)$，$T=10^5$ 总操作数 $3\times10^6$，完全不超时
• 所有变量用 long long，避免溢出

八、极简总结（背下来就能写）

1. 答案公式$$ans = \frac{(n+1) \times S}{2}$$
2. $S$ 计算方法 把 $n$ 不断除以 $2$，只要结果 $\ge k$ 且是奇数，就累加权重 $1,2,4,8\dots$
3. 标程本质 用位运算模拟递归分裂，$O(\log n)$ 秒算答案。