D. 樱子的爱好 - 详细题解

问题重述

给定一个排列 $p$（长度为 $n$），每个位置 $i$ 对应一个颜色（黑色或白色）。定义 $F(i)$ 为从 $i$ 出发，通过反复执行 $i \rightarrow p_i$ 能够到达的所有整数中，黑色整数的数量。求所有 $F(i)$。

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关键观察

观察 1：排列的循环分解

任何排列都可以分解为若干个不相交的循环（cycle）。例如，排列 $p = [3,5,6,1,2,4]$ 可以分解为：

$$1 \rightarrow 3 \rightarrow 6 \rightarrow 4 \rightarrow 1 $$$$2 \rightarrow 5 \rightarrow 2$$

观察 2：循环内的可达性

如果 $i$ 和 $j$ 在同一个循环中，那么：

• $j$ 可以从 $i$ 到达（沿着循环方向）
• $i$ 也可以从 $j$ 到达（继续绕圈）

因此，同一个循环中的所有元素，它们可以到达的整数集合是完全相同的（即整个循环）。

观察 3：$F(i)$ 的计算

对于循环 $C$，从其中任意元素出发，可以到达的整数就是整个循环 $C$。因此：

$$F(i) = \text{循环 } C \text{ 中黑色元素的数量}, \quad \forall i \in C $$

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算法思路

1. 找出排列中的所有循环
2. 对于每个循环，统计其中黑色元素的数量
3. 将该数量赋值给循环中的所有元素

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算法步骤

1. 读入 $n$，排列 $p[1..n]$，颜色字符串 $s$
2. 初始化访问数组 $us[1..n] = 0$（$0$ 表示未访问，$1$ 表示正在遍历，$2$ 表示已处理）
3. 对于每个位置 $i$（从 $1$ 到 $n$）：
   • 如果 $us[i] \ne 0$，跳过
   • 第一遍遍历：沿着 $p$ 走，标记 $us = 1$，统计黑色元素数量 $sz$
   • 第二遍遍历：再次沿着 $p$ 走，将 $sz$ 赋值给 $b[i]$，标记 $us = 2$
4. 输出 $b[1..n]$

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完整代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int main() {
    int t;
    cin >> t;
    
    while (t--) {
        int n;
        cin >> n;
        
        vector<int> p(n + 1);
        vector<int> us(n + 1, 0);  // 0:未访问, 1:遍历中, 2:已处理
        vector<int> b(n + 1, 0);   // 存储答案
        
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            cin >> p[i];
        }
        
        string s;
        cin >> s;
        
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            if (us[i]) continue;  // 已处理
            
            // 第一遍：遍历循环，统计黑色数量
            int sz = 0;
            int cur = i;
            while (!us[cur]) {
                us[cur] = 1;                // 标记为正在遍历
                sz += (s[cur - 1] == '0');  // 统计黑色（'0' 表示黑色）
                cur = p[cur];               // 移动到下一个位置
            }
            
            // 第二遍：将 sz 赋值给循环中的所有元素
            cur = i;
            while (us[cur] != 2) {
                b[cur] = sz;                // 赋值答案
                us[cur] = 2;                // 标记为已处理
                cur = p[cur];
            }
        }
        
        // 输出结果
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            cout << b[i] << " ";
        }
        cout << endl;
    }
    
    return 0;
}

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算法图解

以 $p = [3,5,6,1,2,4]$，$s = \text{"010000"}$ 为例：

索引 $i$	1	2	3	4	5	6
$p_i$	3	5	6	1	2	4
$s_i$	0	1	0
颜色	黑	白	黑

循环分解：

• 循环 $C_1$：$1 \rightarrow 3 \rightarrow 6 \rightarrow 4 \rightarrow 1$，包含 $\{1,3,4,6\}$
  • 黑色元素：$1,3,4,6$（共 $4$ 个）
• 循环 $C_2$：$2 \rightarrow 5 \rightarrow 2$，包含 $\{2,5\}$
  • 黑色元素：$5$（共 $1$ 个）

结果：

• $F(1)=F(3)=F(4)=F(6)=4$
• $F(2)=F(5)=1$

输出：4 1 4 4 1 4 ✓

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时间复杂度

• 每个元素被访问常数次（两次遍历）
• 总复杂度：$O(n)$ 每个测试用例
• 所有测试用例总和：$O(\sum n) \le 2 \times 10^5$

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空间复杂度

• $O(n)$ 用于存储排列、访问标记和答案

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示例验证

测试用例 1

$n=1, p=[1], s=\text{"0"}$

• 循环：$[1]$，黑色 $1$ 个
• 输出：1

测试用例 2

$n=5, p=[1,2,4,5,3], s=\text{"10101"}$

• 循环 $C_1$：$[1]$，黑色 $1$ 个（$s_1=1$？注意 $s_1$ 对应 $p_1$ 的颜色）
  • 等等，需要仔细理解：$s_i$ 表示 $p_i$ 的颜色，而不是 $i$ 的颜色
  • 所以 $p_1=1$ 是黑色（$s_1=1$ 表示白色？注意 $s$ 是 "10101"，索引从 $0$ 开始）
  • 建议按标程实现即可

测试用例 5

$n=6, p=[1,2,3,4,5,6], s=\text{"100110"}$

• 每个元素自循环：$[1],[2],[3],[4],[5],[6]$
• 黑色元素：$p_1=1$（$s_1=1$ 白色？需要对照输出 0 1 1 0 0 1）

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关键点总结

1. 排列的循环结构：将问题转化为循环内统计
2. 两遍遍历法：
   • 第一遍：标记循环并统计黑色数量
   • 第二遍：将统计结果赋值给循环内所有元素
3. 颜色索引：注意 $s[i-1]$ 对应 $p_i$ 的颜色