题解

这道题目要求我们在一个矩阵中找到多个香蕉树区域，并计算出通过连接 k 个区域能够得到的最多香蕉树数量。每个区域是由相邻的香蕉树组成的，区域内的香蕉树通过水平或垂直相邻的关系形成连通块。通过连接这些区域，可以帮助猴子获得更多的香蕉。

问题分析

1. 区域的定义：

   • 每个区域是由一组相邻的香蕉树组成的，可以通过连接相邻的香蕉树来形成一个区域。
   • 相邻的香蕉树可以通过水平或垂直的方向连通。

2. 目标：

   • 给定 k 个区域，目标是选择这些区域中含有最多香蕉树的 k 个区域，并输出这些区域的香蕉树数量之和。

3. 解法思路：

   • 步骤1：首先根据给定的香蕉树的位置，找到所有的连通区域。每个区域由一组相邻的香蕉树组成。
   • 步骤2：通过并查集（Union-Find）算法，合并相邻的香蕉树，找到所有的连通区域。
   • 步骤3：统计每个区域内的香蕉树数量，并将这些数量按从大到小排序。
   • 步骤4：选择最多的 k 个区域，求出它们的香蕉树总数。

代码实现

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
using namespace std;

#define MAXN 16010

// 定义每个香蕉树节点的结构
struct Node {
    int x, y;  // 香蕉树的坐标
    int num;   // 每个香蕉树的编号
} arr[MAXN];

int b[MAXN], result[MAXN];  // b 用于并查集，result 存储每个区域的香蕉树数量

// 按照 x 坐标排序
bool compareX(Node &a, Node &b) {
    if (a.x != b.x) {
        return a.x < b.x;
    }
    return a.y < b.y;
}

// 按照 y 坐标排序
bool compareY(Node &a, Node &b) {
    if (a.y != b.y) {
        return a.y < b.y;
    }
    return a.x < b.x;
}

// 排序用的比较函数，按香蕉树数量从大到小排序
bool compare(int a, int b) {
    return a > b;
}

// 查找并查集的根节点
int seek(int x) {
    if (x == b[x])
        return x;
    return b[x] = seek(b[x]);  // 路径压缩
}

// 连接两个元素
int setting(int x, int y) {
    x = seek(x);
    y = seek(y);
    if (x == y)
        return 0;
    else
        b[x] = y;  // 合并两个集合
    return 0;
}

int main() {
    int n, m, ans = 0;
    
    // 输入香蕉树的数量和需要连接的区域数量
    scanf("%d%d", &n, &m);
    
    // 初始化并查集
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        b[i] = i;  // 初始时每个香蕉树是一个单独的区域
        scanf("%d%d", &arr[i].x, &arr[i].y);  // 输入香蕉树的坐标
        arr[i].num = i + 1;  // 编号从1开始
    }
    
    // 按照 x 坐标排序
    sort(arr, arr + n, compareX);
    for (int i = 0; i < n - 1; i++) {
        if (arr[i].x == arr[i + 1].x && arr[i + 1].y - arr[i].y == 1) {
            setting(arr[i].num, arr[i + 1].num);  // 连接相邻的香蕉树
        }
    }

    // 按照 y 坐标排序
    sort(arr, arr + n, compareY);
    for (int i = 0; i < n - 1; i++) {
        if (arr[i].y == arr[i + 1].y && arr[i + 1].x - arr[i].x == 1) {
            setting(arr[i].num, arr[i + 1].num);  // 连接相邻的香蕉树
        }
    }
    
    // 每个香蕉树都找到它所在的区域
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        b[i] = seek(i);  // 路径压缩，找到根节点
    }
    
    // 统计每个区域内的香蕉树数量
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        result[b[i]]++;  // 统计每个区域的大小
    }
    
    // 按区域的香蕉树数量从大到小排序
    sort(result, result + n + 1, compare);

    // 选择最大的 m 个区域，求它们的香蕉树总数
    for (int i = 0; i < m; i++) {
        ans += result[i];  // 累加最大的 m 个区域的数量
    }

    // 输出结果
    printf("%d\n", ans);
    return 0;
}

代码解释

1. 输入解析：

   • n 表示香蕉树的数量，m 表示需要连接的区域数量。
   • arr[i].x 和 arr[i].y 存储每棵香蕉树的坐标，arr[i].num 存储每棵树的编号。

2. 并查集操作：

   • 使用并查集（Union-Find）来合并相邻的香蕉树。在相邻的香蕉树之间建立联系，通过 setting 函数来进行连接。
   • seek 函数用于查找一个元素的根节点，路径压缩技术可以优化查找过程。

3. 排序与连接：

   • 我们通过两次排序来连接相邻的香蕉树：第一次按 x 坐标排序，连接水平相邻的香蕉树；第二次按 y 坐标排序，连接垂直相邻的香蕉树。

4. 统计每个区域的大小：

   • 在并查集操作后，每棵树都指向它所在的区域的根节点。我们统计每个区域内的香蕉树数量并存储在 result 数组中。

5. 选择最大的 k 个区域：

   • 排序所有区域的香蕉树数量，选择最大的 k 个区域，计算它们的香蕉树总数。

6. 输出结果：

   • 输出选择的 k 个区域的香蕉树总数。

复杂度分析

• 时间复杂度：

  • 排序操作的时间复杂度是 $O(n \log n)$，并查集操作的时间复杂度是 $O(\alpha(n))$，其中 $\alpha(n)$ 是反阿克曼函数，接近常数。
  • 因此，总的时间复杂度是 $O(n \log n)$，在 $n \leq 16000$ 的范围内是可以接受的。

• 空间复杂度：

  • 我们使用了几个数组：arr 存储香蕉树的位置和编号，b 存储并查集的父节点，result 存储每个区域的大小。空间复杂度是 $O(n)$。

示例

输入：

10 3
7 10
1 1
101 1
2 2
102 1
7 11
200 202
2 1
3 2
103 1

输出：

9

结论

这道题目通过并查集的方式高效地找到了所有连通的香蕉树区域，并通过动态选择最大区域来求解答案。通过合理地使用并查集和排序，能够在较大的输入规模下得到正确的结果。