题解

这个问题涉及到排列的生成与字典顺序。给定一个排列及一个正整数 $k$，要求输出该排列的下 $k$ 个排列。排列按照字典顺序排列，且如果达到了最后一个排列，则下一排列会从第一个排列开始。

例如，给定 $n = 3$ 和排列 $2, 3, 1$，要求找出该排列的下 2 个排列，答案应为 $3, 2, 1$ 和 $1, 2, 3$，因为 $2, 3, 1$ 的下一个排列是 $3, 1, 2$，再下一个就是 $3, 2, 1$，之后则会回到 $1, 2, 3$。

解题思路

1. 排列的字典顺序：

   • 排列问题的关键在于按字典顺序生成排列。可以使用 next_permutation 函数来快速生成下一个字典顺序排列。

2. 如何生成下 $k$ 个排列：

   • 对于每组输入数据，从给定的排列开始，通过调用 next_permutation 函数 $k$ 次来生成下 $k$ 个排列。
   • 如果当前排列是最后一个排列，调用 next_permutation 后会返回第一个排列。next_permutation 会确保排列按字典顺序循环。

3. 特例处理：

   • 若输入的是最后一个排列，next_permutation 会将其重置为第一个排列。因此，当 $k$ 次操作完成后，直接输出结果即可。

4. 时间复杂度：

   • 每次调用 next_permutation 的时间复杂度是 $O(n)$，因此处理 $k$ 次操作的时间复杂度为 $O(k \cdot n)$。给定 $k \leq 64$ 和 $n \leq 1024$，这是可以接受的。

代码实现

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstdio>
using namespace std;

int f[1050];  // 用于存储排列

int main() {
    int t, i;
    scanf("%d", &t);  // 读取测试数据的个数
    int c;
    for (c = 1; c <= t; c++) {
        int n, k;
        scanf("%d%d", &n, &k);  // 读取n和k
        for (i = 0; i < n; i++)  // 读取排列
            scanf("%d", &f[i]);
        
        while (k--)  // 循环k次，生成下一个排列
            next_permutation(f, f + n);  // 调用next_permutation生成下一个排列
        
        // 输出结果
        for (i = 0; i < n - 1; i++) 
            printf("%d ", f[i]);  // 输出前n-1个数
        printf("%d\n", f[n - 1]);  // 输出最后一个数
    }
    return 0;
}

代码解释

1. 输入读取：

   • scanf("%d", &t);：首先读取测试数据的个数。
   • 对于每组测试数据，读取 $n$ 和 $k$，并将给定的排列存储在数组 f 中。

2. 调用 next_permutation：

   • next_permutation(f, f + n);：此函数会将数组 f 中的排列转换为下一个字典顺序排列。调用该函数 $k$ 次即可得到下 $k$ 个排列。

3. 输出结果：

   • 输出下 $k$ 个排列中的最后一个排列。
   • for (i = 0; i < n - 1; i++) printf("%d ", f[i]);：输出除最后一个元素外的所有元素。
   • printf("%d\n", f[n - 1]);：输出最后一个元素，并换行。

复杂度分析

• 时间复杂度：

  • 每次调用 next_permutation 的时间复杂度是 $O(n)$，需要调用该函数 $k$ 次，因此总的时间复杂度是 $O(k \cdot n)$。
  • 由于 $k \leq 64$ 和 $n \leq 1024$，该复杂度在问题的输入范围内是可以接受的。

• 空间复杂度：

  • 主要的空间消耗在于存储排列，空间复杂度为 $O(n)$，即存储一个长度为 $n$ 的数组。

示例

输入：

3
3 1
2 3 1
3 1
3 2 1
10 2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

输出：

3 1 2
1 2 3
1 2 3 4 5 6 7 9 8 10

结论

该问题通过 next_permutation 函数解决了如何从当前排列生成下一个排列的需求。通过对每组输入数据调用该函数 $k$ 次，可以高效地得到所需的结果。