题解

本题目描述了一个关于开关的操作问题，其中每个开关的状态会影响到与其相关联的其他开关。每当你操作一个开关时，它会改变与之相关的所有开关的状态（由开变为关，或由关变为开）。我们需要通过一定的开关操作，使得最后的状态达到指定的目标状态，同时要求每个开关最多只能操作一次。我们的任务是计算在这种限制下，有多少种不同的方式可以使得所有开关达到目标状态。如果没有可行的解，则输出 “Oh, it's impossible~!!”。

解题思路

1. 状态建模：

   • 每个开关的状态可以用二进制数表示，0代表关，1代表开。
   • 操作某个开关时，它本身和与之相关的开关都会发生状态变化。
   • 所有的开关状态和操作间的关系可以转化为一个二进制的线性方程组。

2. 问题转化：

   • 该问题可以转化为求解线性方程组的问题。每个开关的操作对应着一个线性方程，操作与状态的关系可以用增广矩阵表示。
   • 使用 高斯消元法 来解该线性方程组，进而计算所有可能的操作组合。

3. 高斯消元法：

   • 使用 GF(2)（即二进制域）上的高斯消元法来处理线性方程组，GF(2)中的加法和减法都是按位异或。
   • 消元过程中通过行交换和异或操作来消去不必要的项，最后检查是否有冲突，判断是否有解。

4. 自由变量：

   • 如果在消元过程中，某一行的主元（对角线元素）为0且该行增广列有非零元素，说明该线性方程组无解。
   • 如果主元为0且增广列也是0，则说明该变量是自由变量，可能有多种解。每个自由变量会带来一个二进制选择（0或1），因此自由变量的数量决定了解的数量。

详细步骤

1. 输入解析：读取多个测试案例。每个测试案例包括：

   • 开关数量 N。
   • 初始状态数组和目标状态数组。
   • 开关之间的联动关系。

2. 矩阵构建：根据联动关系构建一个增广矩阵。矩阵的每一行表示一个开关操作与其他开关的关系。

3. 高斯消元法求解：

   • 利用高斯消元法求解增广矩阵，判断方程组是否有解。
   • 如果有解，计算解的数量，如果无解，输出 "Oh, it's impossible~!!"。

4. 输出结果：对于每个测试案例，输出符合条件的解的数量或无解提示。

高斯消元法的详细实现

高斯消元法的实现过程中，主要通过以下步骤来解二进制的线性方程组：

1. 交换行：确保每列的首个非零元素是主元素。
2. 消元：通过异或操作将该列下方的元素消去，保证该列只剩下主元素。
3. 回代：从最后一行回代，计算每个未知数的值，并判断是否有自由变量。

C++代码实现

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;
#define int long long
const int maxm=3e5+5;
int a[33][33];
int st[33];
int ed[33];
int n;
int gauss(){
    for(int i=0;i<n;i++){
        int k=i;
        for(;k<n;k++)if(a[k][i])break;
        if(k==n)continue;//全部为0
        for(int j=0;j<=n;j++)swap(a[i][j],a[k][j]);
        for(int j=0;j<n;j++){
            if(i==j)continue;
            if(a[j][i]){
                for(int k=i;k<=n;k++){
                    a[j][k]^=a[i][k];
                }
            }
        }
    }
    int ans=1;
    for(int i=n-1;i>=0;i--){
        if(!a[i][i]&&a[i][n]){//冲突,无解
            return -1;
        }
        if(!a[i][i]){//自由元
            ans*=2;
        }else{
            for(int j=i-1;j>=0;j--){
                if(a[j][i]){
                    a[j][i]^=a[i][i];
                    a[j][n]^=a[i][n];
                }
            }
        }
    }
    return ans;
}
signed main(){
    int T;cin>>T;
    while(T--){
        memset(a,0,sizeof a);
        cin>>n;
        for(int i=0;i<n;i++)cin>>st[i];
        for(int i=0;i<n;i++)cin>>ed[i];
        for(int i=0;i<n;i++){
            if(st[i]!=ed[i]){
                a[i][n]=1;
            }
        }
        for(int i=0;i<n;i++){
            a[i][i]=1;
        }
        while(1){
            int i,j;cin>>i>>j;
            if(!i&&!j)break;
            i--,j--;
            a[j][i]=1;
        }
        int ans=gauss();
        if(ans==-1){
            cout<<"Oh,it's impossible~!!"<<endl;
        }else{
            cout<<ans<<endl;
        }
    }
    return 0;
}

代码解析

1. 输入解析：

   • 通过 cin 读取每个测试案例中的开关数量、初始状态、目标状态和联动关系。

2. 增广矩阵构建：

   • 根据初始状态和目标状态的差异，构建增广矩阵的最后一列。
   • 将每个开关与自身相联系，表示每个开关本身也会影响自身。

3. 高斯消元法：

   • 对增广矩阵进行高斯消元，处理每列的非零元素，并消去不必要的项。
   • 通过回代求解，判断方程组是否有解，并计算自由变量的个数。

4. 输出结果：

   • 对每个测试案例，输出解的数量或 "Oh, it's impossible~!!"。

时间复杂度

• 高斯消元法的时间复杂度为 $O(n^3)$，其中 $n$ 为开关的数量。
• 空间复杂度为 $O(n^2)$，用于存储增广矩阵。

总结

本题通过将开关操作建模为线性方程组，并使用高斯消元法求解。该方法能够高效地判断是否有解，并计算解的数量。对于多个测试数据，程序能够正确输出每个测试的结果。