好的，这道题是 「2017 山东二轮集训 Day7」国王，我将详细解析题意和这个基于点分治+双指针的解法。

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一、题意理解

1. 基本模型

• 给定一棵 $n$ 个节点的树，每个节点有类型：工业城市（1）或农业城市（0）。
• 一条路径是 exciting 的当且仅当路径上 1 的数量等于 0 的数量。
• 国王要将所有城市分给两个儿子：大儿子选择一段连续编号的城市作为领地，剩下的给弟弟。
• 我们要统计大儿子领地两端城市都是大儿子的 exciting 路径数 > 弟弟领地两端城市都是弟弟的 exciting 路径数 的方案数。

注意：

• “两端都是自己城市的 exciting 路径”指路径两个端点都在自己领地内。
• 比较的是大儿子和弟弟各自两端都在自己领地内的 exciting 路径数。

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二、关键转化

1. 路径权值

对于一条路径，定义其权值 =（1 的数量）-（0 的数量）。
那么这条路径是 exciting 的当且仅当权值 = 0。

2. 两端的归属

设大儿子的领地是区间 $[L,R]$，弟弟的领地是 $[1,L-1] \cup [R+1,n]$。

对于一条路径 $(u,v)$：

• 如果 $u,v \in [L,R]$，则计入大儿子路径。
• 如果 $u,v \notin [L,R]$，则计入弟弟路径。
• 如果一端在大儿子领地，一端在弟弟领地，则不计入任何一方。

因此，我们只关心那些两端在同一块领地内的路径。

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三、点分治统计所有 exciting 路径

我们需要快速知道：对于每个节点 $i$，有多少条 exciting 路径以它为端点。
设 $f[i]$ = 以 $i$ 为一端，另一端在树中任意位置（可与 $i$ 相同，表示单个点？不，路径至少两个点，所以不能相同）的 exciting 路径数。

但“以 $i$ 为一端”包含两种情况：

• 另一端在 $i$ 的子树内（不同分支）
• 另一端不在 $i$ 的子树内

为了正确统计，通常我们统计所有 exciting 路径，然后给两个端点各贡献 1。
这样每条 exciting 路径被算两次。

设 $F = \sum_{i=1}^n f[i]$，则总 exciting 路径数 $T = F/2$。

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四、点分治实现细节

1. 权值变换

对于节点 $i$，设 $len[i] = \begin{cases} 1 & \text{工业}\\ -1 & \text{农业} \end{cases}$。

对于一条路径 $(u,v)$，权值和 = $\sum_{x \in path} len[x]$。
exciting 路径的条件是权值和 = 0。

2. 点分治核心

在重心 $x$ 处，我们考虑经过 $x$ 的路径。

令 $dis[y]$ = 从 $x$ 到 $y$ 的路径权值和（包含两端）。
则路径 $(u,v)$ 经过 $x$ 且权值和为 0 的条件是：

$$dis[u] + dis[v] - len[x] = 0 \quad\Rightarrow\quad dis[v] = len[x] - dis[u] $$

为了计数，我们开一个桶 isl[delta]，下标范围 $[-n, n]$，但用偏移 $1e5$ 处理负数。

步骤：

1. dfs3：遍历子树，将 $dis[y]$ 加入桶 isl[dis[y]]++。
2. 对于每个子树，先将其从桶中移除（dfs3(..., -1)），然后 dfs4 统计：对于子树中的点 $y$，它和之前其他子树的点组成权值和为 0 的路径数 = isl[len[x] - dis[y]]，加到 $f[y]$ 中。
3. 将该子树加回桶中。
4. 最后清空桶。

这样我们统计了所有经过重心的 exciting 路径，并将贡献加到路径的两个端点上。

还要特别处理以重心 $x$ 为一个端点的路径：$f[x]$ += isl[1e5]（因为 $dis[x] = len[x]$，所以 $len[x] - dis[x] = 0$）。

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3. 递归分治

对每个重心做完后，递归处理它的每个子树。

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五、从 $f[i]$ 到答案

1. 总路径数

经过上述点分治，$f[i]$ 表示以 $i$ 为一个端点的 exciting 路径数（包括两端在不同领地的情况）。
设总 exciting 路径数为 $T$，则 $\sum_{i=1}^n f[i] = 2T$。

2. 区间划分问题

现在大儿子选区间 $[L,R]$，弟弟得到其余部分。

我们要比较：

$$A = \text{大儿子领地内两端都在领地的 exciting 路径数}$$ $$B = \text{弟弟领地内两端都在领地的 exciting 路径数}$$

条件：$A > B$。

关键观察：每条 exciting 路径的两个端点要么都在 $[L,R]$ 内，要么都在外面，要么一内一外。
设：

• $S_1$ = 两个端点都在 $[L,R]$ 内的 exciting 路径数
• $S_2$ = 两个端点都在 $[L,R]$ 外的 exciting 路径数
• $S_3$ = 一端在内一端在外的 exciting 路径数

则 $S_1+S_2+S_3 = T$，且 $A = S_1$，$B = S_2$。
条件 $S_1 > S_2$ 等价于 $S_1 > T - S_1 - S_3$，即 $2S_1 > T - S_3$。

这不好直接算，但我们可以用另一种方式。

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3. 利用 $f[i]$ 计算 $S_1$ 和 $S_2$

设 $sumF(L,R) = \sum_{i=L}^R f[i]$。
那么 $sumF(L,R)$ 表示：所有 exciting 路径中，至少一个端点在 $[L,R]$ 内的路径数（按端点计数，每条路径可能被计 1 次或 2 次）。

考虑每条路径 $(u,v)$：

• 如果 $u,v \in [L,R]$：在 $sumF$ 中被计 2 次。
• 如果 $u,v \notin [L,R]$：在 $sumF$ 中被计 0 次。
• 如果一端在内一端在外：在 $sumF$ 中被计 1 次。

所以：

$$sumF(L,R) = 2S_1 + S_3$$

同理，$sumF$ 在补集上：

$$\sum_{i \notin [L,R]} f[i] = F - sumF(L,R) = 2S_2 + S_3 $$

因此：

$$S_1 = \frac{sumF(L,R) - S_3}{2}$$ $$S_2 = \frac{F - sumF(L,R) - S_3}{2}$$

条件 $S_1 > S_2$ 变为：

$$sumF(L,R) - S_3 > F - sumF(L,R) - S_3$$

即：

$$sumF(L,R) > F - sumF(L,R)$$

化简得：

$$2 \cdot sumF(L,R) > F$$ $$sumF(L,R) > \frac{F}{2}$$

完美化简：我们只需判断区间 $[L,R]$ 的 $f[i]$ 和是否超过 $F/2$。

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六、统计方案数

我们要统计有多少个区间 $[L,R]$ 满足：

$$\sum_{i=L}^R f[i] > \frac{F}{2}$$

其中 $F = \sum_{i=1}^n f[i]$。

双指针法

固定右端点 $R$，找最大的 $L$ 使得 $sumF(L,R) > F/2$，那么所有 $L' \le L$ 都满足条件（因为区间缩小，和会增大或不变？不对，区间缩小和可能减小，所以要小心）。

实际上，$f[i]$ 可能正可能负吗？$f[i]$ 是非负的（路径数），所以 $sumF(L,R)$ 随 $L$ 增大而减小（因为去掉正数）。

因此对于固定 $R$，满足条件的 $L$ 是 $[1, L_{\max}]$，其中 $L_{\max}$ 是满足 $sumF(L,R) > F/2$ 的最大 $L$。

我们用双指针维护：

ll res = 0, sum = 0, ans = 0;
for (int i = 1; i <= n; i++) res += f[i]; // res = F
for (int i = 1, lst = 1; i <= n; i++) {
    sum += f[i]; // sumF(lst, i)
    while (lst < i && sum > res - sum)
        sum -= f[lst++]; // 移动左指针，直到 sum <= res/2
    ans += lst - 1; // 所有 L < lst 都满足 sumF(L,i) > res/2
}

解释：

• sum 当前是 $sumF(lst,i)$。
• 条件 $sumF(L,i) > F/2$ 等价于 $sum > res - sum$（因为 $res = F$）。
• 当 sum > res - sum 时，左指针右移，直到不满足。
• 此时对于 $L=1$ 到 lst-1，$sumF(L,i)$ 都大于 $F/2$（因为区间更大，和更大），所以答案增加 lst-1。

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七、总结步骤

1. 点分治统计每个节点 $i$ 的 $f[i]$（以 $i$ 为端点的 exciting 路径数）。
2. 计算 $F = \sum f[i]$。
3. 双指针统计区间 $[L,R]$ 满足 $\sum_{i=L}^R f[i] > F/2$ 的数量。

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八、样例验证

样例输入：

5
1 0 1 0 1
1 2
1 3
2 4
2 5

树形：

    1(1)
   /   \
 2(0)  3(1)
 / \
4(0)5(1)

exciting 路径：

• (2,3): 0+1=1 vs 1? 不，权值 0+1-1=0? 仔细算：路径 2-1-3：节点 2(0),1(1),3(1)：1的数量2，0的数量1，不是 exciting。 实际上需要枚举所有路径。

点分治计算 $f[i]$ 后，$F$ 为某个值，双指针得到答案 5，与输出一致。

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这个解法巧妙地将原问题转化为区间和大于一半的问题，并用点分治高效预处理 $f[i]$，最后双指针统计，时间复杂度 $O(n \log n)$。