问题分析

本题要求在一个 $x \times y \times z$ 的三维网格图中，找到一条最短路径使得机器人遍历所有边至少一次。这是一个典型的欧拉路径/回路问题（中国邮递员问题的特例）。

关键结论

对于三维网格图：

1. 图中的奇度数顶点（度数为奇数的点）个数只能是 $0$ 或 $2$
2. 当奇点数为 $0$ 时，存在欧拉回路
3. 当奇点数为 $2$ 时，存在欧拉路径
4. 无论是欧拉回路还是欧拉路径，覆盖所有边恰好一次所需的步数都等于图中的总边数

边数计算公式

三维 $x \times y \times z$ 网格的总边数为：

$$E = (x-1)yz + x(y-1)z + xy(z-1) = 3xyz - (xy + xz + yz) $$

其中：

• $(x-1)yz$：$x$ 方向的边
• $x(y-1)z$：$y$ 方向的边
• $xy(z-1)$：$z$ 方向的边

最终答案

机器人所需的最小能量即为总边数：

$$\text{ans} = 3xyz - (xy + xz + yz)$$

需要对结果取模 $998244353$。

C++ 实现

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long ll;
const ll MOD = 998244353;

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);
    
    int t;
    cin >> t;
    
    while (t--) {
        ll x, y, z;
        cin >> x >> y >> z;
        x %= MOD;
        y %= MOD;
        z %= MOD;
        
        ll xyz = (x * y % MOD) * z % MOD;
        ll xy = x * y % MOD;
        ll xz = x * z % MOD;
        ll yz = y * z % MOD;
        
        ll ans = (3 * xyz % MOD - (xy + xz + yz) % MOD + MOD) % MOD;
        cout << ans << "\n";
    }
    
    return 0;
}

算法标签

• 图论 - 欧拉路径/回路
• 组合数学 - 网格图计数
• 公式推导 - 直接公式计算
• 模运算 - 大数取模处理