核心思想

利用异或运算的性质 异或运算有以下重要性质：

$a \oplus a = 0$

$a \oplus 0 = a$

异或满足交换律和结合律

情况1：$k = 1$ 当只有一个数出现奇数次时，只需要将所有数进行异或操作：

result = 0
for each number x:
    result = result ^ x

最终得到的 result 就是那个出现奇数次的数。

情况2：$k = 2$ 设两个出现奇数次的数为 $a$ 和 $b$：

第一步：将所有数异或，得到 $x = a \oplus b$

第二步：找到 $x$ 中任意一个为1的二进制位（通常取最低位的1）

这个位表明 $a$ 和 $b$ 在这一位上不同

第三步：根据这个位将原数组分成两组：

该位为1的数

该位为0的数

第四步：分别对两组数进行异或，得到 $a$ 和 $b$

第五步：按从小到大顺序输出

复杂度分析

时间复杂度：$O(n)$，只需要遍历数组2-3次

空间复杂度：$O(1)$，只用了几个变量，完美满足内存限制

关键点

异或运算的巧妙应用：利用异或消除偶数次出现的数字

分组思想：通过二进制位的不同将两个目标数分开

内存优化：不需要存储整个数组，可以边读入边处理

总结

这道题考察了位运算的灵活运用，特别是在内存严格限制下的算法设计能力。掌握异或运算的性质是解决此类问题的关键。