「POI2017 R1」破坏 Sabotage 题解

问题深入分析

我们有一个树形组织，根节点为1号（最高领导）。关键规则如下：

叛乱传播机制：

1. 某个员工作为破坏者率先叛乱（但不强迫下属）
2. 对于每个员工u：如果u的直接下属中叛乱的比例 > x，则u也会叛乱
3. u叛乱后，会强迫所有直接和间接下属跟随叛乱
4. 叛乱只向上传播，不会向下或横向传播

目标：找到最小的x，使得任意员工作为破坏者时，总叛乱人数 ≤ k

关键性质与观察

1. 单调性分析

• x ↗ → 叛乱传播条件更严格 → 最大叛乱人数 ↘
• x ↘ → 叛乱传播条件更宽松 → 最大叛乱人数 ↗
• 因此可以使用二分答案

2. 叛乱传播的数学表达

对于节点u，设：

• children[u]：u的直接下属集合
• rebel_children：u的直接下属中叛乱的数量

叛乱条件：rebel_children / |children[u]| > x

即：rebel_children > x * |children[u]|

由于人数是整数，等价于：rebel_children ≥ ⌊x * |children[u]|⌋ + 1

3. 问题转化

对于给定的x，我们需要检查：是否存在某个破坏者v，使得引发的总叛乱人数 > k

算法设计

方法一：树形DP + 二分答案（推荐）

状态定义

• size[u]：以u为根的子树大小
• dp[u]：如果u叛乱，最少需要多少个直接下属已经叛乱

状态转移

对于叶子节点：dp[u] = 1（没有下属，条件自动满足）

对于非叶子节点：

dp[u] = ⌈x * |children[u]|⌉

即：需要至少dp[u]个直接下属叛乱，u才会叛乱

检查函数设计

bool check(double x) {
    // 计算每个节点的阈值
    for (int u = n; u >= 1; u--) {
        if (children[u].empty()) {
            dp[u] = 1;  // 叶子节点
        } else {
            dp[u] = ceil(x * children[u].size());
        }
    }
    
    // 检查每个可能的破坏者
    for (int v = 1; v <= n; v++) {
        int total = count_rebellion(v, x);
        if (total > k) return false;
    }
    return true;
}

叛乱人数计算

从破坏者v开始：

1. v率先叛乱
2. 向上遍历祖先，检查每个祖先u：
   • 如果u的已叛乱直接下属数量 ≥ dp[u]，则u叛乱
   • 继续向上检查
3. 统计所有叛乱节点

方法二：优化算法

观察到：对于破坏者v，叛乱传播路径是从v到根的链上的连续一段。

我们可以预处理：

• up[u]：从u开始向上，最多能传播到哪个祖先
• 然后O(1)计算每个破坏者的影响范围

复杂度分析

• 二分答案：O(log(1e8)) ≈ 27次
• 每次检查：O(n) 计算dp值 + O(n) 检查每个破坏者
• 总复杂度：O(n log(1/ε))，满足n ≤ 5e5

实现细节

1. 树结构存储

vector<int> children[MAXN];
int parent[MAXN], size[MAXN];

2. 预处理

void dfs(int u) {
    size[u] = 1;
    for (int v : children[u]) {
        dfs(v);
        size[u] += size[v];
    }
}

3. 二分精度控制

double l = 0, r = 1;
for (int iter = 0; iter < 50; iter++) {
    double mid = (l + r) / 2;
    if (check(mid)) r = mid;
    else l = mid;
}

样例详细分析

输入：

9 3
1
1
2
2
2
3
7
3

树结构：

    1
   / \
  2   3
 /|\  |\
4 5 6 7 9
      |
      8

当x = 0.666...时：

• 节点3有2个直接下属(7,9)，阈值 = ceil(0.666×2) = 2
• 节点7有1个直接下属(8)，阈值 = ceil(0.666×1) = 1

破坏者8号：

• 8叛乱 → 7有1/1=100%下属叛乱 > 0.666 → 7叛乱
• 7叛乱 → 3有1/2=50%下属叛乱 ≤ 0.666 → 停止传播
• 总叛乱：3,7,8,9 → 4人 > k=3

因此需要x ≥ 2/3。

边界情况处理

1. k = 1：x = 1.0（只有破坏者本人叛乱）
2. k = n：x = 0.0（允许所有人叛乱）
3. 链状树：传播更容易，需要更大的x
4. 星形树：根节点需要很多下属叛乱才会加入

总结

本题的关键在于：

1. 理解叛乱传播的数学条件
2. 将连续变量x的求解转化为二分答案问题
3. 设计高效的检查函数，利用树形DP计算传播范围
4. 注意整数人数与实数比例之间的转换

通过二分搜索士气值x，并在每次检查中模拟最坏情况的破坏者，我们能够高效地找到满足条件的最小x值。