题目分析 我们需要判断给定的 $R \times C$ 子矩阵能否扩展为完整的 $n \times n$ 拉丁方，并在可能的情况下构造出一个解。

拉丁方的定义：

$n \times n$ 矩阵

每行是 $1 \sim n$ 的排列

每列是 $1 \sim n$ 的排列

关键观察 可行性条件：

已知部分每行不能有重复数字

已知部分每列不能有重复数字

对于任意数字 $k$，它在已知部分出现的次数不能超过 $n$

构造思路：

将矩阵分为四个区域：

左上角：已知的 $R \times C$ 子矩阵

右上角：$R \times (n-C)$

左下角：$(n-R) \times C$

右下角：$(n-R) \times (n-C)$

匹配模型：

可以将问题建模为二分图匹配：

左部：行-数字对 $(i, k)$，表示行 $i$ 还需要数字 $k$

右部：列-数字对 $(j, k)$，表示列 $j$ 还需要数字 $k$

边：如果 $(i, k)$ 和 $(j, k)$ 可以匹配（即位置 $(i, j)$ 可以填 $k$）