问题分析

本题是一道一道关于一组5位数字序列匹配问题，核心任务是找出所有满足特定条件的5位数字序列。这些序列需要与给定的$n$个5位数字序列进行比较，满足每个序列与其他序列的差异符合严格约束。

算法思路

1. 核心约束条件

对于生成的序列$b$和给定的每个序列$a[i]$（$i \geq 1$），必须满足：

• 差异位数$d$（不同数字的位置数量）必须满足$1 \leq d \leq 2$
• 若$d=1$：直接满足条件
• 若$d=2$：这两个差异位置必须相邻（即位置$j$和$j+1$），且两个位置的数字差（模10）必须相等

2. 序列生成策略

以第一个序列$a[0]$为基准，生成所有可能的候选序列$b$：

1. 单位置变异：改变$a[0]$中某一个位置的数字（共$5$个位置，每个位置有$9$种可能的变化）
2. 相邻双位置变异：改变$a[0]$中某一对相邻位置的数字（共$4$对相邻位置），变化量为$j$（$1 \leq j \leq 9$），且两个位置的变化量相同（模10）

3. 验证函数（check）

对每个生成的候选序列$b$进行验证：

• 计算$b$与每个$a[i]$（$i \geq 1$）的差异位数$d$
• 若$d > 2$或$d = 0$，直接排除该序列
• 若$d = 1$，继续检查下一个序列
• 若$d = 2$，验证两个差异位置是否相邻且数字差（模10）相等

关键公式与计算

1. 差异位数计算：

   $$d = \sum_{j=0}^{4} [b[j] \neq a[i][j]]$$

   其中$[condition]$为指示函数，条件为真时取$1$，否则取$0$

2. 数字差计算（模10）：

   $$c1 = (b[j] - a[i][j] + 10) \mod 10$$ $$c2 = (b[j+1] - a[i][j+1] + 10) \mod 10$$

   对于$d=2$的情况，要求$c1 = c2$

3. 相邻位置双变异计算：

   $$b[i] = (a[0][i] + j) \mod 10$$ $$b[i+1] = (a[0][i+1] + j) \mod 10$$

   其中$j$为变异步长（$1 \leq j \leq 9$）

复杂度分析

• 候选序列数量：
  • 单位置变异：$5 \times 9 = 45$个
  • 相邻双位置变异：$4 \times 9 = 36$个
  • 总计：$45 + 36 = 81$个候选序列
• 验证复杂度：每个候选序列需要与$n-1$个序列比较，每个比较耗时$O(5)$，因此总时间复杂度为$O(81 \times n \times 5) = O(n)$
• 由于$n$最大为$10$（数组$a$的大小限制），算法效率极高，可瞬间完成计算

代码解析

该算法通过定向生成候选序列而非暴力枚举所有可能的5位数字（共$10^5 = 100000$种），大幅减少了计算量，体现了基于约束的剪枝思想。