问题分析

本题要求计算公墓中所有墓地的虔诚度总和，其中虔诚度由以墓地为中心的十字架数目决定。一个十字架需要墓地的上下左右各有恰好 $k$ 棵常青树，因此需统计所有满足条件的十字架数量。

关键思路

1. 离散化：由于 $N$ 和 $M$ 范围极大（$10^9$），但常青树数量 $W$ 有限（$10^5$），需对坐标进行离散化，将坐标映射到较小的区间。
2. 组合数学：对于某一位置的常青树，其上下左右的常青树数量可通过组合数 $\binom{n}{k}$ 计算选择 $k$ 棵的方案数。
3. 树状数组：用于维护和查询某一纵坐标范围内的有效组合数乘积，实现高效的区间和查询与单点更新。
4. 离线处理：按行（$x$ 坐标）处理常青树，逐步维护每行上下常青树的数量，并结合树状数组统计左右常青树的组合数乘积，最终累加得到结果。

具体步骤

1. 离散化坐标：将常青树的 $x$ 和 $y$ 坐标分别离散化，减少数据范围。
2. 预处理组合数：利用递推公式预处理组合数 $\binom{n}{k}$，用于后续计算选择 $k$ 棵常青树的方案数。
3. 按行处理常青树：
   • 对每行的常青树按 $y$ 坐标排序。
   • 维护每个纵坐标 $y$ 对应的左右常青树数量（lf 和 rt），并通过树状数组维护当前行中满足左右各选 $k$ 棵的组合数乘积。
   • 对于每行的每棵常青树，计算其上下可选 $k$ 棵的组合数，结合树状数组查询的左右组合数乘积，累加得到当前贡献的虔诚度。

复杂度分析

• 离散化和排序的时间复杂度为 $O(W\log W)$。
• 组合数预处理的时间复杂度为 $O(W \times k)$（$k \leq 10$）。
• 树状数组的更新和查询操作均为 $O(\log W)$，总时间复杂度为 $O(W\log W + Wk)$，可高效处理 $W=10^5$ 的数据规模。

该解法通过离散化、组合数学和树状数组的结合，在满足时间和空间限制的前提下，准确计算出所有墓地的虔诚度总和。

算法标签

• 离散化
• 树状数组（Binary Indexed Tree）
• 组合数学
• 离线处理