一、核心观察

$2\times 2$ 子矩阵中 + 和 - 各两个，等价于任意 $2\times 2$ 子矩阵的四个格子异或和为 $0$。

设 $a_{i,j} \in \{0,1\}$（0 表示 +，1 表示 -），则：

$$a_{i,j} \oplus a_{i,j+1} \oplus a_{i+1,j} \oplus a_{i+1,j+1} = 0 $$

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二、参数化通解

可以证明，所有满足上述约束的矩阵可以写成：

$$a_{i,j} = p_i \oplus q_j$$

其中 $p_i \in \{0,1\}$ 是行系数，$q_j \in \{0,1\}$ 是列系数。

验证：
代入 $2\times 2$ 约束：

$$(p_i \oplus q_j) \oplus (p_i \oplus q_{j+1}) \oplus (p_{i+1} \oplus q_j) \oplus (p_{i+1} \oplus q_{j+1}) = 0 $$

因为每个 $p_i$ 出现两次，每个 $q_j$ 出现两次，异或后为 0。

并且这种形式覆盖所有解：固定第一行和第一列即可确定所有 $p_i, q_j$。

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三、自由变量计数

• 有 $n$ 个 $p_i$ 和 $m$ 个 $q_j$，但整体同时翻转 $p$ 和 $q$ 不影响 $a_{i,j}$（因为 $p_i \oplus q_j$ 不变）。
• 所以自由变量数为 $n + m - 1$。
• 无已知条件时，方案数 = $2^{n+m-1}$。

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四、已知条件的处理

已知 $a_{y,x} = v$，则：

$$p_y \oplus q_x = v$$

这个等式将 $p_y$ 和 $q_x$ 关联起来。

我们可以建立一个二分图：

• 左部：$n$ 个 $p_i$
• 右部：$m$ 个 $q_j$
• 对于每个已知条件 $(y,x,v)$，在 $p_y$ 与 $q_x$ 之间连一条边，权值为 $v$

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五、连通分量与自由变量

在二分图中：

• 每个连通分量内，一旦确定一个变量的值，其余变量都唯一确定。
• 设连通分量数为 $comp$，则这些变量中的自由变量数为 $comp - 1$（因为可以整体翻转一个连通分量，但全局翻转所有分量不影响 $a_{i,j}$，所以要减 1）。

未出现在任何边中的 $p_i$ 和 $q_j$ 是孤立的点，每个都是一个单独的连通分量，可以自由选择 0 或 1。

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六、最终自由度数

设实际出现在已知条件中的不同行数为 $|SR|$，不同列数为 $|SC|$。
设这些节点构成的子图有 $comp$ 个连通分量。

则总自由变量数：

$$\text{free} = (n - |SR|) + (m - |SC|) + (comp - 1) $$

解释：

• $(n - |SR|)$：未出现的行变量，每个自由。
• $(m - |SC|)$：未出现的列变量，每个自由。
• $(comp - 1)$：出现的变量中，自由度数。

方案数：

$$\text{ans} = 2^{\text{free}}$$

前提是已知条件不自相矛盾。

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七、检查一致性

用带权并查集维护二分图：
对每个连通分量维护节点与根节点的异或距离。
加入边 $(p_y, q_x, v)$ 时，检查是否与已有关系矛盾。
如果矛盾，答案直接为 0。

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八、总结步骤

1. 收集所有已知条件，记录出现的行、列。
2. 用并查集建立二分图，检查一致性。
3. 若矛盾，输出 0。
4. 否则计算：
   • 未出现的行数 = $n - |SR|$
   • 未出现的列数 = $m - |SC|$
   • 连通分量数 $comp$
   • 自由变量数 = $(n - |SR|) + (m - |SC|) + (comp - 1)$
5. 输出 $2^{\text{自由变量数}} \bmod (10^9+7)$。

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这样推导更简洁，避免了 $T$ 的枚举，直接使用 $a_{i,j} = p_i \oplus q_j$ 的通解形式。