题目大意

给定一个长度为 $N$ 的数组，每个位置可能是白色或黑色。两人轮流操作：

• 每次选择一个白色格子，设下标为 $x$。
• 再选择一个整数 $k$，满足 $1 \leq k \leq \lfloor N/x \rfloor$。
• 将 $x, 2x, \dots, kx$ 这些格子颜色翻转（白变黑，黑变白）。

无法操作者输。
先手会给出多个初始状态（只给出白色格子位置），问每个状态下先手是否有必胜策略。

题型分析

这是一个组合游戏问题，具有以下特点：

1. 多个子游戏：每个白色格子可以看作一个独立的子游戏，因为对 $x$ 操作时，只会影响 $x$ 的倍数位置，且这些倍数的下标都大于等于 $x$，不会影响更小的下标。
2. 公平组合游戏：双方操作规则相同，且操作集合只依赖于当前状态。
3. 可用 SG 定理：整个游戏的 SG 值是每个白色格子对应 SG 值的异或和。

关键思路

1. SG 函数定义
   设 $\text{SG}(x)$ 表示只在位置 $x$ 为白色、其它位置为黑色时，该局面的 SG 值。

2. 操作的影响
   对 $x$ 操作时，选择 $k$，会翻转 $x, 2x, \dots, kx$ 的颜色。
   在只考虑 $x$ 的倍数时，这相当于在 $x$ 的倍数序列上翻转一个前缀的长度为 $k$ 的区间。

3. 子游戏独立性
   因为 $x$ 的倍数序列中，每个位置 $tx$ 的 SG 值是 $\text{SG}(t)$（由于局面等价于从 $t$ 开始的子游戏）。
   所以对 $x$ 操作，等于在 $x$ 的倍数序列上选择 $k$，翻转 $\text{SG}(1), \text{SG}(2), \dots, \text{SG}(k)$ 对应的局面。

4. 转化为 Nimber 计算
   于是 $\text{SG}(x)$ 的计算方法：
   令 $m = \lfloor N/x \rfloor$，即 $x$ 的倍数个数。
   一次操作选择 $1 \le k \le m$，会将 $k$ 个独立的子游戏（即 $\text{SG}(x), \text{SG}(2x), \dots, \text{SG}(kx)$ 对应的局面）同时翻转。
   在 SG 理论中，翻转一个子游戏等于将其 SG 值异或 1（因为只有两种状态），但这里翻转的是多个独立游戏，所以这个操作相当于将当前局面 $(\text{SG}(1), \text{SG}(2), \dots, \text{SG}(m))$ 中的前 $k$ 个位置的状态全部取反（即白变黑、黑变白），在 SG 函数视角下，就是前 $k$ 个位置的 SG 值异或 1。
   更准确地说，这个游戏是翻转游戏（Turnover game）的一种，其 SG 值可以通过递推得到：

   $ \text{SG}(x) = \text{mex}_{1 \le k \le m} \left( \bigoplus_{j=1}^k (\text{SG}(jx) \oplus 1?) \right) $

   实际上更简单的理解：定义 $f(x)$ 为只有 $x$ 是白色时的 SG 值，那么对 $x$ 操作选择 $k$，会得到新状态：$f(x), f(2x), \dots, f(kx)$ 这些位置的状态全部翻转（即从白变黑或黑变白），所以新局面的 SG 值是原来这些位置的 SG 值异或和再异或 1（如果原来白色对应 1，黑色对应 0）—— 但更标准的做法是：把每个位置的白/黑看作该子游戏是否存在，翻转等于移除或添加，这其实是公平游戏，SG 值计算需考虑操作后所有受影响的位置的 SG 异或和。

5. 实际计算
   经过推导（详见原题AC代码），可以发现：

   • 对于 $x$，$\text{SG}(x)$ 只依赖于 $\lfloor N/x \rfloor$。
   • 且 $\text{SG}(x)$ 的值很小，通常不超过 2。
   • 可以用整除分块来快速计算所有不同的 $\lfloor N/x \rfloor$ 对应的 SG 值。

算法步骤

1. 预处理所有不同的 $\lfloor N/x \rfloor$ 对应的 SG 值。
2. 对每个询问，将给出的白色格子的 SG 值异或起来。
3. 若异或和不为 0，则先手必胜（Yes），否则 No。

复杂度

• 预处理 SG 值的复杂度为 $O(N^{3/4})$ 或 $O(N^{2/3})$（取决于实现）。
• 每个询问只需异或 $W$ 个 SG 值，$W \le 100$。

总结

本题是组合游戏中的经典问题，核心在于识别出每个白色格子是独立的子游戏，并且通过倍数关系将 SG 函数的计算转化为对 $\lfloor N/x \rfloor$ 的递推。利用整除分块可以高效处理 $N$ 很大的情况。