好的，我们先来分析题意和标程的思路，然后给出详细的题解。

---

题目重述

有一棵有 $n$ 个节点的有根树，节点编号 $1 \dots n$，根为 $k$。
定义节点 $v$ 的“神圣度” $d(v)$ 为从根到 $v$ 的路径上最小的节点编号。
总神圣度定义为：

$$\sum_{v=1}^{n} d(v) = m$$

给定 $n, m$，要求构造这样一棵树，输出根和 $n-1$ 条边，若无解输出 $-1$。

---

关键观察

1. 根的神圣度
   根 $r$ 的路径只有自己，所以 $d(r) = r$。

2. 最小值的传递性
   设 $p$ 为 $v$ 的父节点，则

   $$d(v) = \min(d(p), v)$$

   也就是说，从根到 $v$ 的路径上，一旦遇到一个比当前最小值更小的节点，后面的节点神圣度都会变成这个更小的值。

3. 结构等价
   如果根是 $r$，那么整个树的节点都会“继承” $r$ 作为最小值的一部分，直到碰到一个比 $r$ 更小的节点。
   但根是 $r$，路径上的最小值不可能小于 $r$，除非某个后代节点编号更小？
   不对，编号是固定的，编号 1 的节点一定在任何包含它的路径上成为最小值，因此如果 1 在某个子树里，那该子树的所有节点神圣度都是 1。

---

更简单的视角

设根为 $k$，那么：

• 节点 $k$：$d(k) = k$
• 节点 $<k$ 会怎样？
  注意：如果某个节点 $x < k$，它一定不在根到其他节点的路径上作为祖先（否则它会更早成为最小）。
  实际上，我们可以这样构造：
  根为 $k$，然后我们尝试所有节点 $i$ 放在哪里。

观察一个简单构造：

• 把 1 直接挂在 $k$ 下面，那么 $d(1)=1$（因为路径 $k \to 1$ 最小值 1）。
• 2 如果挂在 1 下面，则 $d(2) = \min(1,2)=1$，这样 2 贡献 1 而不是 2。

所以为了使得 $d(i) = i$，节点 $i$ 必须放在一条路径上，且这条路径上的所有祖先都 $\ge i$。

---

转化问题

如果我们把 $d(i)$ 看作节点 $i$ 的“分值”，那么根的分值 = 自身编号，其他节点如果挂在编号更小的节点下，分值会被拉低。

更精确地说：

• 若节点 $u$ 是 $v$ 的祖先且 $u<v$，则 $d(v) \le u$。
• 为了最大化总和，我们希望每个节点 $i$ 的分值尽量大，即让它放在一条编号递增的路径上（祖先都 > 它，但实际上 $i$ 比祖先小也不行，所以不可能有祖先都 > 它，除了根更大，根自己是特殊的：根的分值固定）。

换个思路：
考虑一条从根出发的路径 $k \to a_1 \to a_2 \to \dots$，那么路径上的神圣度是 $k, \min(k, a_1), \dots$，所以除非 $a_1 < k$，否则不变。
但 $a_1 < k$ 的话，所有后代都会变成 $a_1$。

所以实际上，整个树被分成若干“区域”，每个区域由该区域中最小的节点编号决定该区域所有节点的神圣度。

---

标程的思路

标程用了一个贪心构造：

1. 先判断合法性：

   • 最小总和：当所有节点都直连根时，$d(v) = \min(\text{根}, v)$。如果根 = 1，则所有节点最小值为 1，总和为 $n$，这是最小可能（因为 $d(v) \ge 1$）。
     实际上最小总和是 $n$：把 1 作为根，所有节点直连根，$d(v) \ge 1$，且根 1 贡献 1，其它节点 $v\ge2$ 贡献 1，总和 $n$。
   • 最大总和：当树是一条链 $1-2-\dots-n$ 且根为 $n$ 时，每个节点 $i$ 的路径上最小值为自身，总和 $1+2+\dots+n = n(n+1)/2$。
   • 所以必须满足 $n \le m \le n(n+1)/2$。

2. 然后尝试构造：

   • 设根为 $r$，$d(r)=r$，其它节点我们可以分配“增量”。
     令 $k = m - n$，表示除了每个节点至少贡献 1 以外，还需要多贡献 $k$ 的总和。
   • 因为每个节点至少贡献 1，现在考虑如何增加。

   实际上更直接的做法（标程）：

   • 先把所有节点贡献设为 1，总和为 $n$，需要额外总和 $k = m-n$。
   • 如何增加？
     把某个节点 $x$ 从贡献 1 增加到贡献 $x$，需要保证它到根的路径上最小值是 $x$，即路径上所有节点编号 $\ge x$，且 $x$ 本身在该路径上。
     这等价于把它放在一条所有祖先 $\ge x$ 的路径上，且它自己是该路径上最小的。 但最简单：让节点 $x$ 成为某个路径的起点，且挂在 $x+1$ 或更大下。
     实际上标程用了贪心：从大到小取节点作为链的一部分，每个节点贡献 $i$ 而不是 1。

---

标程的构造细节

标程代码（已给）中：

i64 k = sum - n;
vector<i64> ans;
i64 curr = 0, nsum = 0;
for(i64 i = n - 1; i >= 0; --i) {
    if(curr == k) break;
    if(curr + i <= k) {
        curr += i;
        ans.push_back(i + 1);
        nsum += i + 1;
    }
}
i64 ct = ans.size();
for(i64 i = 0; i < n - ct; ++i) ans.push_back(1);

这里：

• $k = m - n$ 是需要额外增加的总和。
• 从大到小尝试取 $i+1$ 作为链上的节点（因为 $i$ 从 $n-1$ 到 0 对应节点 $n, n-1, \dots, 1$），如果当前 $+i \le k$ 就取这个节点作为链的一部分。
• 最后不足 $n$ 个节点用 1 补齐（表示其余节点直连根）。

然后输出：

• 首先输出根 = ans[0]（即最大那个节点）。
• 然后依次输出链上的边。
• 当遇到 1 时，把剩下的所有未用节点挂在 1 下（形成 1 的子树）。

---

为什么这样构造有效？

因为：

• 根是最大值 $r$，链上节点 $r > a_1 > a_2 > \dots$，那么每个链上节点的路径最小值 = 自身，贡献自身。
• 挂到 1 下面的节点，路径经过 1，最小值变为 1，贡献 1。
• 其他没被链选中的节点（除了 1 外）如果直接挂在根下，路径只有根和它，最小值 = min(根, 它)，因为根最大，所以最小值 = 它自己，贡献自身？等等不对——根 > 它，所以路径上最小是它自己，所以贡献自身。那就不只是 1 了。
  这里要仔细看标程：
  实际上标程把链上节点挂在前面节点下，剩下的 1 补齐，然后当 1 出现时，把剩下所有未访问的节点（包括本身未访问的）都挂在 1 下，这样它们的路径经过 1，最小值 1。

这样：

• 链上节点：贡献 = 自身编号。
• 1 下面所有节点：贡献 = 1。
• 其它情况（比如不在链上也不在 1 下的节点）不存在，因为所有节点要么在链上要么在 1 下。

总和 = 链节点和 + (剩余节点数) × 1。
链节点和 = $n + k$ 因为初始 $n$ 个 1，加了 $k$ 得到。

---

合法性条件

因此得到：

$$n \le m \le \frac{n(n+1)}{2}$$

是充要条件。

---

最终题解流程

1. 如果 $m < n$ 或 $m > n(n+1)/2$，输出 -1。
2. 否则：
   • 令 $k = m - n$。
   • 贪心选链：从 $n$ 往下取，只要选 $i$ 不超 $k$ 就加入链。
   • 剩余的节点用 1 补齐。
   • 输出根 = 链第一个节点。
   • 输出链的边。
   • 当遇到 1 时，把剩余未输出过的节点（除了 1 自身）都挂到 1 下。
   • 结束。

---

时间复杂度

• 预处理 $O(n)$，总 $n$ 不超过 $10^6$，可行。

---

如果你需要，我可以帮你把上述题解整理成最终输出的形式，并附上代码实现。