题意

有 $n$ 种花色，每种花色有 $13$ 张牌（点数 $2$ 到 $10，J，Q，K，A$）。
皇家同花顺：$10，J，Q，K，A$ 且花色相同。
初始随机抽 $5$ 张牌，之后每轮：

• 若手牌有皇家同花顺，获胜；
• 若牌堆空，失败；
• 否则，可弃掉任意手牌，然后抽牌至手牌 $5$ 张或牌堆空。
  求最小期望获胜轮数（获胜那轮不计入）。

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关键转化

• 只有 $10，J，Q，K，A$ 这 $5$ 张关键牌对获胜有用，其余牌无用。
• 每轮我们可以弃掉无用牌，所以手牌中永远只保留关键牌（且不会保留重复的关键牌，因为弃掉后抽新的）。
• 因此，游戏等价于：从 $13n$ 张牌中（包含 $5n$ 张关键牌和 $8n$ 张无用牌）每次抽一张，如果抽到未集齐的关键牌则保留，否则丢弃。当集齐某花色的全部 $5$ 张关键牌时获胜。求期望抽牌次数。

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状态表示

总关键牌数 $M = 5n$。
用一个 $M$ 位的二进制掩码 $mask$ 表示已收集的关键牌集合。
位 $i$（$0 \le i < M$）对应第 $\lfloor i/5 \rfloor$ 种花色的第 $i \bmod 5$ 张关键牌（点数顺序固定为 $10,J,Q,K,A$）。
定义 $dp[mask]$ 为当前已收集 $mask$ 时，还需多少步才能获胜的期望。

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边界条件

如果 $mask$ 包含某花色的全部 $5$ 张关键牌，即存在 $suit$ 使得 $mask$ 在 $[suit \cdot 5, suit \cdot 5 + 4]$ 这些位上全为 $1$，则已获胜：

$$dp[mask] = 0$$

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转移方程

设：

• $cnt = \text{popcount}(mask)$：已收集的关键牌数量
• $R = 13n - cnt$：剩余牌数（已抽走的 $cnt$ 张关键牌已移除，其余牌还在）
• $\text{missing} = M - cnt$：未收集的关键牌数量

下一张抽牌：

• 抽到未收集关键牌的概率 $p = \frac{\text{missing}}{R}$
• 抽到已收集关键牌或无用牌的概率 $1-p$

设 $E_{next} = \frac{1}{\text{missing}} \sum_{i \notin mask} dp[mask \cup \{i\}]$ 为抽到未收集关键牌时的期望后继值。

由全期望公式：

$$dp[mask] = 1 + p \cdot E_{next} + (1-p) \cdot dp[mask] $$

移项：

$$p \cdot dp[mask] = 1 + p \cdot E_{next}$$ $$dp[mask] = \frac{1}{p} + E_{next}$$

由于 $p = \frac{\text{missing}}{R}$，所以：

$$dp[mask] = \frac{R}{\text{missing}} + E_{next}$$

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算法步骤

$1$. 初始化所有 $dp[mask] = 0$，$vis[mask] = \text{false}$。 $2$. 递归计算 $dp[mask]$：

• 若 $mask$ 包含某花色的 $5$ 张牌，返回 $0$。
• 计算 $cnt = \text{popcount}(mask)$，$R = 13n - cnt$，$\text{missing} = 5n - cnt$。
• 计算 $E_{next} = \frac{1}{\text{missing}} \sum_{i \notin mask} dp[mask \cup \{i\}]$。
• 返回 $dp[mask] = \frac{R}{\text{missing}} + E_{next}$。 $3$. 答案 $= dp[0]$。

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复杂度

状态数 $2^{5n}$，$n \le 4$ 时最大 $2^{20} = 1,048,576$，可接受。
每个状态遍历 $\text{missing} \le 20$ 个后继，总复杂度 $O(2^{5n} \cdot n)$。

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完整代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int n;
double dp[1 << 20];
bool vis[1 << 20];

bool hasRoyal(int mask) {
    for (int suit = 0; suit < n; suit++) {
        int royalMask = 0;
        for (int rank = 0; rank < 5; rank++) {
            royalMask |= (1 << (suit * 5 + rank));
        }
        if ((mask & royalMask) == royalMask) return true;
    }
    return false;
}

double dfs(int mask) {
    if (vis[mask]) return dp[mask];
    vis[mask] = true;
    if (hasRoyal(mask)) return dp[mask] = 0;
    
    int cnt = __builtin_popcount(mask);
    int total = 13 * n;
    int remain = total - cnt;
    int missing = 5 * n - cnt;
    
    double sumNext = 0;
    for (int i = 0; i < 5 * n; i++) {
        if (!(mask >> i & 1)) {
            sumNext += dfs(mask | (1 << i));
        }
    }
    double E_next = sumNext / missing;
    dp[mask] = (double)remain / missing + E_next;
    return dp[mask];
}

int main() {
    cin >> n;
    double ans = dfs(0);
    cout << fixed << setprecision(9) << ans << endl;
    return 0;
}

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示例验证

输入 $1$，输出约 $3.598290598$
输入 $2$，输出约 $8.067171309$
与题目样例一致。

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总结

• 问题简化为收集特定 $5n$ 张关键牌，且必须集齐同一花色的 $5$ 张。
• 用状态压缩 $DP$ 计算期望步数。
• 转移公式：$dp[mask] = \frac{\text{剩余牌数}}{\text{未收集关键牌数}} + \text{后继期望的平均}$。