题目大意

给定一个长度为 $n$ 的序列 $b$，它是由原序列 $a$ 删除 $k$ 个元素后得到的。已知原序列 $a$ 所有元素的乘积为 $2023$。要求判断这样的序列 $a$ 是否存在，若存在则输出任意一组被删除的 $k$ 个数。

解题思路

设序列 $b$ 中所有元素的乘积为 $x$，即

由于 $a$ 的乘积为 $2023$，而 $a$ 由 $b$ 中的元素与被删除的 $k$ 个元素共同组成，因此被删除的 $k$ 个元素的乘积必然等于

由此可以得到以下判定条件：

• 若 $2023$ 不能被 $x$ 整除（即 $2023 \bmod x \neq 0$），则不可能找到整数乘积为 $\frac{2023}{x}$ 的被删除元素，此时答案必为 NO。
• 若 $2023$ 能被 $x$ 整除，则一定存在合法的构造方案。一种最简单的构造是：将 $\frac{2023}{x}$ 作为被删除的第一个数，其余 $k-1$ 个数全部补 $1$。由于 $1$ 不影响乘积，且 $\frac{2023}{x}$ 为正整数，因此该构造一定合法。

注意：题目并未要求被删除的数必须为 $2023$ 的因数，只要乘积满足条件即可。上述构造中，$1$ 以及 $\frac{2023}{x}$ 都是合法的整数。

算法步骤

1. 读入测试用例数 $t$。
2. 对每个测试用例：
   • 读入 $n, k$ 以及序列 $b$。
   • 计算 $b$ 中所有元素的乘积 $x$（注意使用 long long 类型防止溢出，虽然 $n \le 5$，乘积最大为 $2023^5 \approx 3.3 \times 10^{16}$，仍在 $64$ 位整数范围内）。
   • 判断 $2023$ 是否能被 $x$ 整除：
     • 若不能，输出 NO。
     • 若能，输出 YES，然后先输出 $\frac{2023}{x}$，再输出 $k-1$ 个 $1$（若 $k=0$ 则不输出数字）。

复杂度分析

• 时间复杂度：每个测试用例 $O(n)$ 计算乘积，总复杂度 $O(\sum n)$，在 $t \le 100,\ n \le 5$ 的范围内完全可行。
• 空间复杂度：$O(1)$ 额外空间。

代码实现（C++）

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);

    int t;
    cin >> t;
    while (t--) {
        int n, k;
        cin >> n >> k;
        long long x = 1;
        for (int i = 0; i < n; ++i) {
            int b;
            cin >> b;
            x *= b;
        }
        if (2023 % x != 0) {
            cout << "NO\n";
        } else {
            cout << "YES\n";
            cout << 2023 / x;
            for (int i = 1; i < k; ++i) {
                cout << " 1";
            }
            cout << "\n";
        }
    }
    return 0;
}

补充说明

• 题目中的 $b_i$ 不一定为 $2023$ 的因数，但这不影响判定。因为只要最终乘积能整除，我们就可以通过补 $1$ 和调整一个乘数来达到目标。
• 由于 $2023 = 7 \times 17 \times 17$，其质因数分解唯一，因此判定条件的正确性由整数除法的性质保证。