详细题解：A Tale of Two Lands

（数学化简 + 双指针 / 二分，$O(n\log n)$）

一、核心公式化简（最关键部分）

题目要求：

$$\min(|x-y|,\ |x+y|)\ \le\ |x|,|y|\ \le\ \max(|x-y|,\ |x+y|) $$

步骤 1：正负号不影响答案

无论 $x,y$ 正负，只需要看它们的绝对值。 因为：

• $|x|,|y|$ 不变
• $|x+y|$ 和 $|x-y|$ 只是交换，不影响包含关系

所以我们可以直接把所有数取绝对值。

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步骤 2：最终等价条件

设 $x,y \ge 0$，条件化简为：

$$\boldsymbol{x \le 2y \quad \text{且} \quad y \le 2x} $$

也就是说： 两个数中，较大的数不能超过较小数的 2 倍。

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二、解法流程

1. 把数组中所有数取绝对值
2. 从小到大排序
3. 使用双指针统计满足$$b_r \le 2\cdot b_l$$ 的无序数对 $\{l,r\}$ 数量

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三、双指针算法原理

数组已排序：

$$b_1 \le b_2 \le \dots \le b_n$$

对每个左端点 $l$：

• 找到最大的 $r$ 满足 $b_r \le 2\cdot b_l$
• 那么：$l+1,\dots,r-1$ 都和 $l$ 构成合法数对
• 贡献：$\boldsymbol{r-l-1}$

总答案 = 所有贡献之和。

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四、标程代码（C++）

#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);
    
    int n;
    cin >> n;
    vector<ll> a(n);
    for (auto &x : a) {
        cin >> x;
        x = abs(x);    // 取绝对值
    }
    
    sort(a.begin(), a.end());
    
    ll ans = 0;
    int r = 0;
    for (int l = 0; l < n; l++) {
        // 找到最远的 r 满足 a[r] <= 2*a[l]
        while (r < n && a[r] <= 2 * a[l])
            r++;
        ans += r - l - 1;
    }
    
    cout << ans << endl;
    return 0;
}

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五、复杂度分析

• 排序：$O(n\log n)$
• 双指针：$O(n)$
• 总复杂度：$O(n\log n)$ 可轻松通过 $n \le 2\cdot 10^5$。

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六、样例解释

样例 1

输入：2 5 -3 取绝对值：[2,5,3] 排序：[2, 3, 5]

• $l=0$: $r=2$ → 贡献 $1$
• $l=1$: $r=2$ → 贡献 $0$
• $l=2$: $r=3$ → 贡献 $0$

答案：2

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样例 2

输入：3 6 取绝对值：[3,6] 排序：[3,6]

• $l=0$: $r=2$ → 贡献 $1$

答案：1

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七、总结（一句话）

把所有数取绝对值、排序， 双指针统计满足 大数 ≤ 2×小数 的无序数对数量。