题意分析

题目要求计算激光在多个反射球体间传播后的最后一个反射点。激光从原点$(0,0,0)$沿方向$(u,v,w)$射出，每次反射遵循入射角等于反射角的规则。需模拟光线在球体间的反射过程，直到光线不再与任何球体相交。每个球体由球心坐标$(x_i,y_i,z_i)$和半径$r_i$定义，且任意两球表面间距≥0.1，原点距任何球体表面≥0.1。

解题思路

代码通过向量运算和几何关系模拟反射过程：1）定义三维向量类$P$处理点和方向；2）每次计算光线与所有球体的交点，选择最近的有效交点作为反射点；3）通过对称变换计算反射后的方向向量；4）重复上述过程直至光线不再与任何球体相交。需注意：1）使用误差控制避免浮点精度问题；2）反射点必须位于光线前进方向；3）输出最后反射点坐标，保留4位小数。

#include<cstdio> 
#include<cstring> 
#include<cmath> 
#include<vector> 
#include<set> 
#include<map> 
#include<algorithm> 

const int maxn = 1e2;
const double pi = acos(-1.0);
const double eps = 1e-5;

using namespace std;

// 加法误差 
double add(double a, double b) {
    if (fabs(a + b) < eps)
        return 0;
    return a + b;
}

// 向量运算 
struct P {
    double x, y, z;
    
    P() {}
    P(double x, double y, double z) : x(x), y(y), z(z) {}
    
    P operator + (P p) {
        return P(add(x, p.x), add(y, p.y), add(z, p.z));
    }
    
    P operator - (P p) {
        return P(add(x, -p.x), add(y, -p.y), add(z, -p.z));
    }
    
    P operator * (double d) {
        return P(x * d, y * d, z * d);
    }
    
    // 点乘 
    double dot(P p) {
        return add(add(x * p.x, y * p.y), z * p.z);
    }
    
    // 面积 
    double area(P p) {
        double dx = add(y * p.z, -z * p.y);
        double dy = -add(x * p.z, -z * p.x);
        double dz = add(x * p.y, -y * p.x);
        double s = add(add(dx * dx, dy * dy), dz * dz);
        return sqrt(s);
    }
    
    // 向量模长 
    double lenth() {
        return sqrt(add(add(x * x, y * y), z * z));
    }
    
    // 单位向量 
    P unit() {
        return P(x, y, z) * (1 / lenth());
    }
    
    // 向量p1-p在向量p1-p2上的投影模长 
    double prj_len(P p1, P p2) {
        P p(x, y, z);
        return (p - p1).dot((p2 - p1).unit());
    }
    
    // 在p1-p2上的投影(垂足) 
    P prj(P p1, P p2) {
        P p(x, y, z);
        return p1 + (p2 - p1).unit() * p.prj_len(p1, p2);
    }
    
    // 关于p1-p2的对称点 
    P sym(P p1, P p2) {
        P p(x, y, z);
        P e = p.prj(p1, p2);
        return e * 2 - p;
    }
};

struct dis {
    P p;
    double d;
    int ind;
    
    dis() {}
    dis(P p, double d, int ind) : p(p), d(d), ind(ind) {}
};

bool operator < (dis a, dis b) {
    return a.d < b.d;
}

int main() {
    int n, num;
    double r[maxn];
    P st, a[maxn], s;
    dis df[maxn];
    
    while (scanf("%d", &n) && n) {
        int m = -1;
        scanf("%lf %lf %lf", &s.x, &s.y, &s.z);
        st.x = st.y = st.z = 0;
        
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            scanf("%lf %lf %lf %lf", &a[i].x, &a[i].y, &a[i].z, &r[i]);
        }
        
        while (1) {
            num = 0;
            P next = st + s, toy;
            
            for (int i = 0; i < n; i++) {
                if (i == m)
                    continue;
                
                P e = a[i].prj(st, next);
                P ss = e - a[i];
                double d = ss.lenth();
                
                if (d > r[i] || !add(r[i], -d))
                    continue; // 相切或相离
                
                double dx = s.x, dy = s.y, dz = s.z;
                double Dx = add(st.x, -a[i].x), Dy = add(st.y, -a[i].y), Dz = add(st.z, -a[i].z);
                
                // A*t^2 + B*t + C = 0 
                double A = add(add(dx * dx, dy * dy), dz * dz);
                double B = 2 * add(add(dx * Dx, dy * Dy), dz * Dz);
                double C = add(add(Dx * Dx, Dy * Dy), add(Dz * Dz, -r[i] * r[i]));
                double lf = add(B * B, -4 * A * C);
                
                if (lf <= 0)
                    continue;
                
                double dd = sqrt(lf);
                double t1 = add(-B, dd) / 2 / A, t2 = add(-B, -dd) / 2 / A;
                P p1 = P(add(t1 * dx, st.x), add(t1 * dy, st.y), add(t1 * dz, st.z));
                double d1 = (p1 - st).lenth();
                P p2 = P(add(t2 * dx, st.x), add(t2 * dy, st.y), add(t2 * dz, st.z));
                double d2 = (p2 - st).lenth();
                
                if (s.dot(p1 - st) > 0)
                    df[num++] = dis(p1, d1, i);
                if (s.dot(p2 - st) > 0)
                    df[num++] = dis(p2, d2, i);
            }
            
            if (!num)
                break;
            
            sort(df, df + num);
            m = df[0].ind;
            P e = st.sym(a[df[0].ind], df[0].p);
            st = df[0].p;
            s = e - st;
            P p2 = e;
        }
        
        printf("%.4lf %.4lf %.4lf\n", st.x, st.y, st.z);
    }
    
    return 0;
}