P3684. 物理实验

标签：物理模拟

题目描述

Simon 正在进行一项物理实验，实验使用 $N$ 个半径为 $R$ 厘米的相同小球。实验开始前，所有小球被垂直固定在管中，最底部小球的最低点距离地面高度为 $H$ 米。

实验开始时（$t = 0$ 秒），第一个小球被释放并因重力下落。之后，每秒释放一个小球，直到所有小球被释放。运动规则如下：

1. 地面碰撞：小球撞击地面时，以原速反弹（速度大小不变，方向相反）。
2. 小球碰撞：两球相撞时，交换速度（包括大小和方向）。

已知重力加速度 $g = 10\,\text{m/s}^2$，Simon 想知道 $T$ 秒后所有小球的位置。

输入格式

• 第一行输入测试用例数量 $C$（$C \leq 20$）。
• 每个测试用例包含四个整数：
  • $N$（小球数量，$1 \leq N \leq 100$）
  • $H$（初始高度，$1 \leq H \leq 10000$，单位：米）
  • $R$（小球半径，$1 \leq R \leq 100$，单位：厘米）
  • $T$（时间，$1 \leq T \leq 10000$，单位：秒）

输出格式

对于每个测试用例，输出一行 $N$ 个实数，表示 $T$ 秒后每个小球最低点的高度（单位：米），保留两位小数，用空格分隔。

样例输入

2
1 10 10 100
2 10 10 100

样例输出

4.95
4.95 10.20

题目来源

POJ Founder Monthly Contest – 2008.08.31, Simon

关键点说明

1. 物理模型：
   • 小球自由落体时间 $t_{\text{fall}} = \sqrt{\frac{2H}{g}}$，周期 $T_{\text{bounce}} = 2t_{\text{fall}}$。
   • 时间 $T$ 后的高度 $h$ 可通过周期性运动计算：$$h = H - \frac{1}{2}g \left(T \bmod T_{\text{bounce}} - t_{\text{fall}}\right)^2 \quad \text{（反弹阶段）} $$
2. 碰撞处理：
   • 两球相撞仅需交换速度，无需计算动量（因质量相同）。
3. 半径转换：
   • 输入中的 $R$ 为厘米，需转换为米（$R \gets 0.01R$）参与计算。
4. 输出精度：
   • 结果需四舍五入到两位小数。