题解：洞穴系统数量计算（C++ 实现）

问题描述

我们需要根据机器人探索洞穴时记录的输出带（即访问洞穴的墙壁颜色序列），计算可能产生该输出带的洞穴系统的数量。由于结果可能非常大，我们需要对结果取模 $1,000,000,000$。

解题思路

这个问题可以建模为括号匹配问题或树结构生成问题。具体来说，输出带可以看作是一个深度优先搜索（DFS）的遍历序列。我们需要根据这个序列生成所有可能的树结构（洞穴系统）。

1. 递归与动态规划：使用动态规划来计算生成给定序列的树结构的数量。定义 dp[i][j] 为序列中从第 $i$ 个字符到第 $j$ 个字符可以生成的树结构的数量。
2. 状态转移：
   • 如果 $i == j$，则 dp[i][j] = 1（单个洞穴）。
   • 否则，尝试将序列分成两部分：dp[i][k] * dp[k+1][j]，其中第 $k$ 个字符的颜色与第 $i$ 个字符的颜色相同（表示返回路径）。
3. 模运算：由于结果可能很大，每次更新 dp[i][j] 时都要取模 $1,000,000,000$。

代码实现

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <string>
#include <map>
#include <stack>
#include <vector>
#include <set>
#include <queue>
#pragma comment (linker,"/STACK:102400000,102400000")
#define maxn 305
#define MAXN 100005
#define mod 1000000000
#define INF 0x3f3f3f3f
#define pi acos(-1.0)
#define eps 1e-6
typedef long long ll;
using namespace std;

ll n, m, k, ans, cnt, tot, flag;
ll dp[maxn][maxn];
char s[maxn];

ll dfs(ll x, ll y) {
    if (x >= y) return 1; // Base case: single cave or no caves
    if (dp[x][y] != -1) return dp[x][y]; // Memoization
    ll i, j, t = 0;
    if (s[x] == s[y] && y > x + 1) {
        t += dfs(x + 1, y - 1); // First, try the substring without the first and last character
        for (i = x + 2; i < y - 1; i++) {
            if (s[i] == s[x]) {
                t += dfs(x, i) * dfs(i + 1, y - 1); // Split and combine
                t %= mod;
            }
        }
    }
    dp[x][y] = t;
    return t;
}

int main() {
    int i, j, t;
    while (~scanf("%s", s + 1)) {
        memset(dp, -1, sizeof(dp)); // Initialize dp array
        n = strlen(s + 1); // Length of the input string
        ans = dfs(1LL, n); // Compute the result
        printf("%I64d\n", ans); // Output the result
    }
    return 0;
}

代码解释

1. 初始化：dp[i][j] 表示从第 $i$ 个字符到第 $j$ 个字符可以生成的树结构的数量。初始化为 -1 表示未计算。
2. 基本情况：单个洞穴（i == j）时，dp[i][j] = 1。
3. 递归函数 dfs：
   • 如果 x >= y，直接返回 1（单个洞穴或无洞穴）。
   • 如果 dp[x][y] 已经计算过，直接返回其值。
   • 如果 s[x] == s[y] 且 y > x + 1，尝试将序列分成两部分：
     • 首先尝试 dfs(x + 1, y - 1)。
     • 然后尝试所有可能的分割点 i，其中 s[i] == s[x]，并累加 dfs(x, i) * dfs(i + 1, y - 1)。
4. 主函数：读取输入，初始化 dp 数组，调用 dfs 计算结果，并输出。

示例输入与输出

• 示例输入 1：

  ABABABA
  

• 示例输出 1：

  5
  

• 示例输入 2：

  AB
  

• 示例输出 2：

  0
  

注意事项

• 使用递归和记忆化技术来避免重复计算。
• 注意模运算，防止结果溢出。
• 输入字符串的索引从 1 开始，便于处理。