题解：布丰针问题（Buffon's Needle Problem）

题目理解

这道题目描述了一个经典的几何概率问题——布丰针问题。题目要求我们计算在随机投掷火柴棒$1000$次的情况下，火柴棒与平行线相交的期望次数。

关键点：

1. 平行线间距为$1$
2. 火柴棒长度为$L$（$0 < L < 10$）
3. 投掷次数固定为$1000$次
4. 需要计算最可能的相交次数$P$

数学原理

布丰针问题的经典解是：

• 当针的长度$L \leq 1$时，相交概率为$\frac{2L}{\pi}$
• 当针的长度$L > 1$时，计算会更复杂，但题目保证$L < 10$且不要求处理$L > 1$的情况

对于$N$次投掷，相交次数的期望值为$P = \frac{2LN}{\pi}$

算法思路

1. 直接应用布丰针问题的公式计算
2. 对结果进行四舍五入取整
3. 处理多个测试用例

代码实现

#include <iostream>
#include <cmath>
#include <vector>

using namespace std;

// 计算相交次数$P$的函数
int calculate_P(double L) {
    // 布丰针问题公式：$P = \frac{2 \times L \times N}{\pi}$
    // 其中：
    // $L$ - 火柴棒长度
    // $N$ - 投掷次数（题目中$N=1000$）
    // $\pi$ - 圆周率
    
    double pi = 3.141592653589793;  // 定义$\pi$的近似值
    double P = (2 * L * 1000) / pi; // 应用公式计算$P$
    
    return round(P);  // 对结果四舍五入取整
}

int main() {
    vector<double> test_cases;  // 存储所有测试用例
    double L;  // 临时变量，用于读取输入

    // 读取输入直到文件结束
    // 使用while循环可以处理不定数量的测试用例
    while (cin >> L) {
        test_cases.push_back(L);  // 将每个测试用例存入vector
    }

    // 处理每个测试用例
    // 使用范围for循环遍历所有测试用例
    for (double l : test_cases) {
        int P = calculate_P(l);  // 计算当前测试用例的结果
        cout << P << endl;      // 输出结果
    }

    return 0;  // 程序正常结束
}

复杂度分析

• 时间复杂度：$O(1)$ 每个测试用例，因为只是简单计算
• 空间复杂度：$O(n)$ 存储所有测试用例，$n$为测试用例数量

有趣现象解释

题目中提到当$L=0.5$时，$P\approx318$，而$\frac{1000}{318}\approx3.14$... 这是因为： $P = \frac{2LN}{\pi}$ ⇒ $\pi \approx \frac{2LN}{P}$ 当$L=0.5$，$N=1000$，$P=318$时： $\pi \approx \frac{2\times0.5\times1000}{318} \approx \frac{1000}{318} \approx 3.14$...

这实际上是计算$\pi$值的一种蒙特卡洛方法，是布丰针问题的一个重要应用。