💡题解思路

🎯核心模型：最大化最小值的生成树问题

我们需要在图中选出 $N - 1$ 条边，使得：

整个图连通（尤其编号 $1 \sim K$ 的子图始终连通）

这 $N - 1$ 条边中，三种颜色的计数为 $X, Y, Z$

目标：最大化 $\min{X, Y, Z}$

🔧解决方案：二分 + 最大流/费用流 or 二分 + 图论构造 二分答案：设最终答案为 $ans = \min{X, Y, Z}$，我们可以二分这个值。

可行性判断：对于某个 $mid$，我们要判断是否存在一个生成树满足：

每种颜色的边都不少于 $mid$

总边数为 $N - 1$

保证 $1 \sim K$ 连通

具体实现方式：

这类问题属于最大化最小值的边选择问题，经典解法是二分 + 判断图中是否能选出满足要求的 $N-1$ 条边。

判断用带限制的最小生成树/最大流构造等方式解决（需要较高图论建模能力）。

✅性质利用

由于题目保证初始图中，任意 $1 \sim K$ 是连通的，所以我们可以：

对前 $K$ 个节点构造连通分量，然后在其基础上逐步扩展成整个图的生成树

每次尝试保留每种颜色不少于 $mid$ 的边

📈复杂度分析

二分次数：$O(\log M)$

每次构造图：$O(M \log N)$（假设用并查集或最小生成树）

总体复杂度约为 $O(M \log N \cdot \log M)$，对于 $N \leq 269$ 是可接受的。

✅总结

本题是一个极具挑战性的最大化最小值类型的图论题，结合了：

最小生成树构造

图连通性

颜色分类限制

二分答案技巧

在竞赛中属于高难度题目，推荐用于图论能力训练。