题意分析

解题思路

1. 采用回溯法来尝试所有可能的中继站组合。

2. 定义函数计算两个圆的重叠面积(intersectionArea)：根据两圆的圆心距 $d = \sqrt{(a_x - b_x)^2 + (a_y - b_y)^2}$与两圆半径的关系，分情况计算重叠面积。若d ≥a.r + b.r，两圆不重叠，重叠面积为(0)；若d ≤ |a.r - b.r|，一个圆完全包含在另一个圆内，重叠面积为较小圆的面积；否则通过余弦定理计算圆心角，进而算出重叠面积。

3. 定义函数计算总覆盖面积(calculateTotalArea)：先将基站面积${\pi R^2}$加入总面积，然后对每个选中的中继站，加上其面积${\pi R^2}$，并减去该中继站与基站以及已选中中继站之间的重叠面积。

4. 在回溯函数(backtrack)中，对于每个候选中继站，分别考虑选和不选两种情况。选的时候，检查该中继站与已选的中继站是否不相交（通过比较圆心距与半径和），若不相交则将其加入已选集合，继续递归；不选则直接递归下一个中继站。每次递归结束后，更新最大覆盖面积。

分析

实现步骤

代码实现

#include <iostream>
#include <iomanip>
#include <cmath>
#include <vector>
using namespace std;

const double PI = acos(-1.0);
const double EPS = 1e-9;

struct Station {
	double x, y, r;
};

// 计算两个圆的重叠面积
double intersectionArea(Station a, Station b) {
	double d = sqrt((a.x - b.x) * (a.x - b.x) + (a.y - b.y) * (a.y - b.y));
	if (d >= a.r + b.r) return 0;
	if (d <= fabs(a.r - b.r)) return PI * min(a.r, b.r) * min(a.r, b.r);
	
	double cosAlpha = (a.r * a.r + d * d - b.r * b.r) / (2 * a.r * d);
	double alpha = acos(cosAlpha);
	double cosBeta = (b.r * b.r + d * d - a.r * a.r) / (2 * b.r * d);
	double beta = acos(cosBeta);
	
	double sectorA = a.r * a.r * alpha;
	double triangleA = a.r * a.r * sin(alpha) * cosAlpha;
	double sectorB = b.r * b.r * beta;
	double triangleB = b.r * b.r * sin(beta) * cosBeta;
	
	return sectorA + sectorB - triangleA - triangleB;
}

// 计算当前选择的基站和中继站的总覆盖面积
double calculateTotalArea(Station base, const vector<Station>& selected) {
	double total = PI * base.r * base.r;
	for (int i = 0; i < selected.size(); ++i) {
		total += PI * selected[i].r * selected[i].r;
		total -= intersectionArea(base, selected[i]);
		for (int j = 0; j < i; ++j) {
			total -= intersectionArea(selected[i], selected[j]);
		}
	}
	return total;
}

// 回溯法尝试所有可能的中继站组合
void backtrack(int index, Station base, const vector<Station>& candidates, 
	vector<Station>& selected, double& maxArea) {
		if (index == candidates.size()) {
			maxArea = max(maxArea, calculateTotalArea(base, selected));
			return;
		}
		
		// 不选择当前中继站
		backtrack(index + 1, base, candidates, selected, maxArea);
		
		// 检查当前中继站是否与已选的中继站不相交
		bool canSelect = true;
		for (const auto& s : selected) {
			if (sqrt((s.x - candidates[index].x) * (s.x - candidates[index].x) + 
				(s.y - candidates[index].y) * (s.y - candidates[index].y)) < 
				s.r + candidates[index].r - EPS) {
				canSelect = false;
				break;
			}
		}
		if (canSelect) {
			selected.push_back(candidates[index]);
			backtrack(index + 1, base, candidates, selected, maxArea);
			selected.pop_back();
		}
	}

int main() {
	int N;
	double x0, y0, R;
	cin >> N >> x0 >> y0 >> R;
	
	Station base = {x0, y0, R};
	vector<Station> candidates(N);
	for (int i = 0; i < N; ++i) {
		cin >> candidates[i].x >> candidates[i].y >> candidates[i].r;
	}
	
	vector<Station> selected;
	double maxArea = 0;
	backtrack(0, base, candidates, selected, maxArea);
	
	cout << fixed << setprecision(4) << maxArea << endl;
	
	return 0;
}

代码说明

1. 头文件和常量定义：

   (1)包含了输入输出流()、精度设置()、数学函数()和向量容器()的头文件。

   (2)定义了常量(PI)（通过(acos(-1.0))计算圆周率）和(EPS)（用于比较浮点数时的精度误差，值为(1e - 9)）。

2. 结构体定义：Station结构体用于存储基站和中继站的信息，包括坐标(x)、(y)和半径(r)。

3. intersectionArea函数：计算两个圆的重叠面积，根据圆心距与半径的关系分情况讨论，运用余弦定理和三角函数计算重叠部分的扇形和三角形面积，进而得到重叠面积。

4. calculateTotalArea函数：计算当前选择的基站和中继站的总覆盖面积，先加上基站面积和各中继站面积，再减去基站与中继站、中继站之间的重叠面积。

5. backtrack函数：回溯法的核心函数，递归地尝试所有可能的中继站组合。对于每个候选中继站，分别考虑选和不选的情况，选的时候检查是否与已选的中继站相交，若不相交则加入已选集合并继续递归，最后更新最大面积。

6. main函数：读取输入数据，初始化基站和候选中继站信息，调用回溯函数计算最大覆盖面积，并输出结果，设置输出精度为小数点后(4)位。