题意分析

本题以叶卡捷琳堡将举办2032年夏季奥运会，俄罗斯作为主办方计划用新游戏“Buttons”替代体操比赛为背景。

游戏规则为：有两玩家，面前有一堆$K$个按钮，玩家轮流从堆中拿取按钮，每次可拿1到$L$个，拿走最后一个按钮的玩家获胜。奥运会比赛规则更复杂，通过抽签决定谁先行动，先行动的玩家确定按钮数量$K$（$3\leq K\leq100000000$），后行动的玩家确定每次最多拿取的按钮数$L$（$2\leq L < K$）。

题目要求编写程序，给定先行动玩家确定的按钮数$K$，帮助后行动玩家找到能保证其获胜（假设双方都采取最优策略）的最大$L$值，若有多个这样的$L$值，输出最小的那个；若不存在这样的$L$值，则输出0。例如，当堆中有3个按钮（即$K = 3$）时，$L = 2$能保证后行动玩家获胜，因为若先行动玩家拿1个，后行动玩家拿2个获胜；若先行动玩家拿2个，后行动玩家拿1个获胜。输入为一行，包含先行动玩家确定的按钮数$K$；输出为保证后行动玩家获胜的最大$L$值或0。

解题思路：

1.这是一个博弈问题，关键在于找到后行动玩家的必胜策略。对于给定的纽扣数 K，后行动玩家选择的 L 值需保证无论先行动玩家每次拿取多少纽扣，后行动玩家都能拿到最后一个纽扣。

2.我们可以通过分析游戏过程中的 “必胜态” 和 “必败态” 来确定 L 的值。假设先行动玩家拿取 x 个纽扣（1 ≤ x ≤ L），后行动玩家拿取 y 个纽扣（1 ≤ y ≤ L），在每一轮中，两人拿取的纽扣总数为 x + y。

3.若能使每一轮两人拿取的纽扣总数固定为某个值，且能保证最后一轮由后行动玩家拿完纽扣，就能保证后行动玩家获胜。考虑到 L 的取值范围，发现当 L 满足 K mod (L + 1) = 0 时，后行动玩家可以控制每轮两人拿取的纽扣总数为 L + 1，从而获胜。所以要找到满足 2 ≤ L < K 且使 K mod (L + 1) = 0 的最小 L 值。若不存在这样的 L，则输出 0。

分析

1.时间复杂度：对于给定的 K，需要从 2 到 K - 1 遍历寻找满足条件的 L 值，每次遍历只进行简单的取模运算和判断，时间复杂度为 O (K)。但由于 K 最大为 100000000，实际计算中可能需要优化，不过在本题规模下，该时间复杂度可接受。

2.空间复杂度：程序中只使用了几个简单的变量来存储输入的 K、计算过程中的临时变量和结果变量 L，空间复杂度为 O (1)，属于常数级空间复杂度。

实现步骤

1.输入读取：从标准输入读取整数 K。

2.寻找 L 值：从 2 开始到 K - 1 遍历每个可能的 L 值，对于每个 L，判断是否满足 K mod (L + 1) = 0。

3.输出结果：如果找到满足条件的 L，输出最小的那个 L 值；如果遍历完都没有找到满足条件的 L，则输出 0。

C++ 实现

#include <iostream>
using namespace std;

int main() {
	int K;
	cin >> K; // 读取输入的纽扣数量K
	int L = 0;
	for (int i = 2; i < K; i++) {
		if (K % (i + 1) == 0) { // 判断是否满足K mod (i + 1) = 0
			L = i;
			break; // 找到满足条件的L，跳出循环
		}
	}
	cout << L << endl; // 输出结果
	return 0;
}

代码说明：

1.头文件和命名空间：#include 引入输入输出流库，using namespace std;使代码可以直接使用标准命名空间中的函数和对象。

2.变量定义：int K;用于存储输入的纽扣数量 K；int L = 0;用于存储找到的满足条件的 L 值，初始化为 0，若最终 L 仍为 0，则表示未找到满足条件的 L。

3.循环查找：通过for循环从 2 到 K - 1 遍历 i，在每次循环中判断 K mod (i + 1) 是否等于 0。若满足条件，将 i 赋值给 L 并使用break跳出循环，因为要找的是满足条件的最小 L 值。

4.输出结果：最后通过cout << L << endl;输出 L 的值。